Каталог интернет магазинов
Обсуждение, отзывы, рейтинги, комментарии об интернет магазинах
ShopAudit - Каталог интернет магазинов
Поиск
я ищу
и     или    целиком
в категории
Каталог интернет магазинов
Все сферы
CD-диски, DVD, кассеты
Автомобили и мотоциклы
Антиквариат, искусство
Аптека
Бытовая техника
Детский мир
Животные и растения
Книги
Компьютеры
Красота и здоровье
Мебель, интерьер
Одежда, обувь, кожгалантерея
Офис
Подарки, сувениры, цветы
Продукты, напитки, табак
Разное
Секс-шопы, интимные товары
Спорт, охота, туризм
Строительство и ремонт
Телефоны и связь
Торговые системы
Услуги
Фототовары
Хозтовары
Часы
Электронные товары

/ Главная / Бытовая техника / Техника для дома

Отзывы об интернет магазине StoRobotov



» Посмотреть информацию об интернет магазине
Стоит своих денег 09.08.2017 в 17:33
Написал(а): Валерия положительный
С рождением ребенка вопрос о уборке встал остро, как никогда, ведь времени на это нет, поэтому мы с мужем не стали мелочиться и сразу взяли Ashimo Flatlogic 5517, который помимо сухой и влажной влажной уборки также оснащен ультрафиолетовым стерилизатором и фильтром очистки воздуха, разница ощутимая. Работает не шумно, но эффективно, помимо мелкого мусора прекрасно справляется с шерстью и волосами. работает около 3 часов. а потом самостоятельно идет на подзарядку, так-что можно о нем вообще не думать. главное запрограммировать и вовремя очищать.
рр 01.08.2017 в 12:48
Написал(а): ува положительный
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 r1 r2 · · · rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z) 1, ord
z=0
P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.9)
?
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1)
uh+1
·
Y
l?1
j=h+1
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.10)
A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae
1
p
ul
l
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa
a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4).
Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea
I(p1, 0, . . . , 0) = Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
Ec ?aaainoaa
(x1x2 . . . xr1
)
p1 = z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1 ?z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
(1?zx1x2 . . . xr1
)
neaaoao
I(p1, 0, . . . , 0) = z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1
Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
Ql
j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
= z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1 X
n1...nl?11
z
n1?1
1
(n1 + p1 ? 1)u1n
u2
1
Y
l?1
j=2
1
n
uj+1
j
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45
Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei-
?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4)
oaia?u iieiinou? aieacaii.
Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo-
oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu-
aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou
P~s(z) ia i?aainoiayo
max X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
, 1
!
.
Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl
j=1 pj 6 l · P.
Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl).
Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a.
(l1, k1) (l2, k2) ? l1 l2 eee l1 = l2 e k1 k2.
Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi-
ia ?aaia z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj 0 (a cia?eo e
P 0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa
(iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii
ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu,
iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph 0 i?e h 1).
?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1+uh
,
o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou
i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t
(z) a a?
?acei?aiee ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2P
l?1
,
a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo D
m?w(~t)
P
. Anee ph?1 6= ph,
oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
u
X
h?1
k=1
Ak
(nh?1 + ph?1)
k
+
X
uh
k=1
Bk
(nh?1 + ph)
k
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46
Ak = (?1)uh?1?k

uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k

1
(ph ? ph?1)
uh?1+uh?k
,Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 r1 r2 · · · rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z) 1, ord
z=0
P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.9)
?
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1)
uh+1
·
Y
l?1
j=h+1
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.10)
A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae
1
p
ul
l
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa
a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4).
Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea
I(p1, 0, . . . , 0) = Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
Ec ?aaainoaa
(x1x2 . . . xr1
)
p1 = z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1 ?z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
(1?zx1x2 . . . xr1
)
neaaoao
I(p1, 0, . . . , 0) = z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1
Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
Ql
j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
= z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1 X
n1...nl?11
z
n1?1
1
(n1 + p1 ? 1)u1n
u2
1
Y
l?1
j=2
1
n
uj+1
j
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45
Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei-
?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4)
oaia?u iieiinou? aieacaii.
Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo-
oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu-
aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou
P~s(z) ia i?aainoiayo
max X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
, 1
!
.
Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl
j=1 pj 6 l · P.
Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl).
Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a.
(l1, k1) (l2, k2) ? l1 l2 eee l1 = l2 e k1 k2.
Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi-
ia ?aaia z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj 0 (a cia?eo e
P 0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa
(iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii
ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu,
iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph 0 i?e h 1).
?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1+uh
,
o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou
i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t
(z) a a?
?acei?aiee ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2P
l?1
,
a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo D
m?w(~t)
P
. Anee ph?1 6= ph,
oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
=
u
X
h?1
k=1
Ak
(nh?1 + ph?1)
k
+
X
uh
k=1
Bk
(nh?1 + ph)
k
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46
Ak = (?1)uh?1?k

uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k

1
(ph ? ph?1)
uh?1+uh?k
,
Bk = (?1)uh?k

uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
=
X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 r1 r2 · · · rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z) 1, ord
z=0
P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . .
Хорошая модель, чистит идеально! 21.07.2017 в 12:17
Написал(а): Виктория положительный
Заказывала здесь робот-пылесос фирмы ASHIMO. Выбрала функциональную модель FLATLOGIC 5315. Очень мощная тяга, убирает результативно, пыли нет вообще и чистота в квартире сохраняется дольше, чем раньше. Что самое для меня важное, так это что можно проводить антибактериальную уборку. У меня ребенок аллергик и очистка воздуха очень помогает ему нормально дышать. Пылесос хорошей качественной сборки, убирает во всех отдаленных уголках квартиры, если нужно зарядиться, сам возвращается на базу. Аккумулятор держит зарядку долго, до 180 минут. Доставили мне курьером, все оперативно, без проблем. Я довольна!
Прекрасный помощник 21.07.2017 в 12:09
Написал(а): Анастасия положительный
Мы долго выбирали и в итоге приобрели себе Ашимо, остались довольны. Пользуемся уже больше месяца ежедневно, на кухне прямо одно удовольствие, правда иногда застревает под столешницей, но выбирается оттуда всегда сам. И шерсть кошачью собирает отлично, её у нас очень много, кошка линяет круглый год! Ходит по квартире сам, сам возвращается на базу, никакой присмотр ему не нужен.
Все супер! 21.07.2017 в 12:09
Написал(а): Алёна положительный
Купили в данном интернет - магазине робот - пылесос ashimo. Менеджер быстро связался со мной по телефону и одобрил заказ. Доставили покупку уже на следующий день. Все было хорошо и надежно упаковано, при распаковке недостатков не обнаружили. Все целое и невредимое, без царапин, трещин и т.д. Пылесосит очень хорошо, ковры и полы идеально чистые. Покупке довольны!
Робот-пылесос 21.07.2017 в 12:01
Написал(а): артем положительный
Робот-пылесос отличается действительно качеством сборки. Также хочется отметить удобство функции автоматической подзарядки, а также сухой и влажной уборки. Ну о чем тут можно говорить, японская техника была всегда на высоком уровне. Я думаю, что в скором времени все население перейдет исключительно на роботизированную технику, потому что это по-настоящему удобно и практично.
Хорошее качество 21.07.2017 в 11:57
Написал(а): Оля положительный
Покупали здесь робот-пылесос ashimo и остались полностью довольны по сей день. Дом у нас 90 квадратов, без подзарядки он может находиться три часа, поэтому за это время способен полностью убрать пыль и мусор с пола. Пользуемся в основном сухой уборкой, но есть и функция влажной уборки. Сейчас планирую купить такой своей матери на подарок. Качеством товара полностью довольна.
вы 21.07.2017 в 11:48
Написал(а): окс положительный
Отзыв об интернет-магазине «Ashimo - магазин японских роботов-пылесосов»

Вадим
20отзыв от 26 июняВадим не рекомендует
Посмотрите на ютубе ROBOT VACUUM CLEANER QQ6 и вы поймете чей робот Ashimo. А по мошенникам толкающим его как японский уже давно зона плачет. Этот же пылесос называется как QQ6, производство в Китае и продаётся на Ali за 13000 р.
Наши продавцы меняют наклейку (на Али тоже предлагают свою наклейку сделать, если им фотку прислать), пишут что их пылесос из Японии и перепродают в три конца
0
Mihail
28 июняMihail
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · nm 1}
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl

l

X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl

l

X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm

Qk(z)

Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk

dx1 · · · dxrk

Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . .
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk

dx1 · · · dxrk

Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk

2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33

X
?
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj

, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk

X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai

?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)

X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]

?=0

X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d

d? [f?(x)]?=0

Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

?=0

X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)

3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40

X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 r1 r2 · · · rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z) 1, ord
z=0
P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.9)
?
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1)
uh+1
·
Y
l?1
j=h+1
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.10)
A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae
1
p
ul
l
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa
a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4).
Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea
I(p1, 0, . . . , 0) = Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
Ec ?aaainoaa
(x1x2 . . . xr1
)
p1 = z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1 ?z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
(1?zx1x2 . . . xr1
)
neaaoao
I(p1, 0, . . . , 0) = z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1
Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
Ql
j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
= z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1 X
n1...nl?11
z
n1?1
1
(n1 + p1 ? 1)u1n
u2
1
Y
l?1
j=2
1
n
uj+1
j
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45
Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei-
?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4)
oaia?u iieiinou? aieacaii.
Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo-
oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu-
aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou
P~s(z) ia i?aainoiayo
max X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
, 1
!
.
Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl
j=1 pj 6 l · P.
Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl).
Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a.
(l1, k1) (l2, k2) ? l1 l2 eee l1 = l2 e k1 k2.
Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi-
ia ?aaia z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj 0 (a cia?eo e
P 0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa
(iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii
ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu,
iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph 0 i?e h 1).
?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)

uh

1
(nh?1 + ph?1)
uh?1+uh
,
o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou
i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t
(z) a a?
?acei?aiee ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2P
l?1
,
a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo D
m?w(~t)
P
. Anee ph?1 6= ph,
oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)

uh

u
X
h?1
k=1
Ak
(nh?1 + ph?1)
k
+
X
uh
k=1
Bk
(nh?1 + ph)
k
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46
Ak = (?1)uh?1?k

uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k

1
(ph ? ph?1)
uh?1+uh?k
,
Bk = (?1)uh?k

uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k

1
(ph?1 ? ph)
uh?1+uh?k
.
Iianoaaeyy yoi ?aaainoai a (3.9), iu i?aanoaaei (3.9) a aeaa noiiu uh?1+
uh yeaiaioa?iuo noii (n eiyooeoeaioaie Ak e Bk), e ea?aie ec eioi?uo
ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. ?anniio?ei eaeo?-oi iaio
ec ieo
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
·
1
(nh?1 + ph?1)
k
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
.
Ae niioaaonoao?o neaao?uea ia?aiao?u
l
0 = l ? 1, m
0 = m + k ? uh?1 ? uh, ~p0 = (p1, . . . , ph?2, ph?1, ph+1, . . . , pl).
Anee P~t
(z) iiiai?eaiu ?acei?aiey a eeiaeio? oi?io io iaiauai-
iuo iieeeiaa?eoiia, oi iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo
D
m0?w(~t)
P
. Oae eae D
uh?1+uh?k
P Ak ? Z, oi D
m?w(~t)
P
(Ak · P~t
(z)) ? Z[z], ?oi e
o?aaoaony. Auniou P~t
(z) ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
.
Neaaiaaoaeuii, auniou iiiai?eaiia a ?acei?aiee noiiu (3.9) ia i?aain-
oiayo
u
X
h?1
k=1
Ak +
X
uh
k=1
Bk
!
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
u
X
h?1
k=1

uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k

X uh k=1
uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
!
? (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6(uh?1 + uh)2uh?1+uh?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6m2
m?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 47
Noiia (3.10) ?anniao?eaaaony aiaeiae?ii, a e eioaa?aeo I(p1, p2, . . . ,
ph ? 1, . . . , pl) ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. Aey anao o?ao
neaaaaiuo (3.8), (3.9), (3.10) a eeiaeiie oi?ia (3.4) ciaiaiaoaee eiyooe-
oeaioia iiiai?eaia i?e Le~t
(z) aaeyo D
m?w(~t)
P
. Auniou iiiai?eaiia P~s(z)
enoiaiie noiiu a neo?aa Pl
j=1 pj 1 ia i?aainoiayo
X
l
j=1
pj ? 1
!
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1 + 2 ·
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)

l?1

X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
A neo?aa Pl
j=1 pj = 1, aaeoi?a iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia ec ?acei-
?aiey noii (3.9) e (3.10) eia?o aeeio iaiuoa l, a a ?acei?aiee I({0}l)
oieuei iaei iieeeiaa?eoi aeeiu l, o.a. iii?anoaa iieeeiaa?eoiia ia ia-
?anaea?ony e ioaiea ia auniou a yoii neo?aa oae?a ni?aaaaeeaa. Eaiia
oaia?u iieiinou? aieacaia.
Caia?aiea. Ii?ii auei au aieacuaaou i?aanoaaeaiea (3.4) aac ai-
iieieoaeuiiai i?aaiiei?aiey i oii, ?oi oai?aia 3.1 aa?ia aey ooieoee
R, caaenyueo io iaiaa ?ai l ia?aiaiiuo, ii oie ?a noaia, eae iu aiea-
cuaaee ooaa??aaiea i aunioao e a?eoiaoe?aneeo naienoaao eiyooeoeai-
oia iiiai?eaiia. Iaiaei aeaaiaa?y yoiio i?aaiiei?aie?, ooaa??aaiea
i oii, ?oi a neo?aa u1 2 auiieiyaony ?aaainoai P~s(1) = 0 i?e s1 = 1
aieacuaaaony aaoiiaoe?anee.
Iaciaai ?-noiiie au?a?aiea
X
?
n1=1
z
n1?1R1(n1)
n
X
1+?1
n2=1
R2(n2)· · ·
nl?X
1+?l?1
nl=1
Rl(nl),
aaa ?j oaeua iaio?eoaoaeuiua ?enea, iie?na Rj ea?ao ia io?acea
[?Pj
, ?pj
] e yaey?ony oaeuie ?eneaie e aey e?aiai j = 1, . . . , l auiie-
iyaony I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rl) + j 6 0.
Eaiia 3.3 E?aay ?-noiia F i?aanoaaeyaony a aeaa eiia?ii
рл 20.07.2017 в 13:10
Написал(а): уке положительный
28 июняMihail
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · nm 1}
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl

l

X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl

l

X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm

Qk(z)

Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai
?
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk

dx1 · · · dxrk

Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . .
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaaaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2···nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai
Is1,s2,...,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,...,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk

dx1 · · · dxrk

Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk

2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33

X
?
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,...,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,...,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,...,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk
= ??(s1)Is2,s3,...,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj

, . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk

X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai

?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)

X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,...,sk
(?)]

?=0

X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d

d? [f?(x)]?=0

Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

?=0

X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?-
uea iii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?···?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?···?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39
Aeaaa 3
?acei?aiey e?aoiuo
eioaa?aeia a eeiaeiua
oi?iu
O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao-
?e?aneiai eioaa?aea
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
(1 ? zx1x2 . . . xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm
i?e iaoo?aeuiuo ai
, bi a aeaa Pm
s=0 Ps(z
?1
) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition
1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia-
uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a-
oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie.
A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 ? x1)
nx
n
2
(1 ? x2)
nx
n
3
(1 ? x3)
n
(1 ? zx1x2)
n+1(1 ? zx1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3 (3.1)
= P2,1(z
?1
) Le2,1(z) + P1,1(z
?1
) Le1,1(z) + P1(z
?1
) Le1(z) + P?(z
?1
)
e
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
n
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l (3.2)

3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40

X
l
k=0
Pk(z
?1
) Li{2}k
(z) +X
l?1
k=0
Tk(z
?1
) Li1,{2}k
(z),
aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea
oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa.
A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a-
iea eioaa?aea
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai?1
i
(1 ? xi)
bi?ai?1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 r1 r2 · · · rl = m.
a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou-
ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo
aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi?
~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a
v~0
, iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i-
ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai
eiyooeoeaioia.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo
eioaa?aeia
Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn
(z) n ?acee?iuie ia-
ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z).
Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn
(z)
n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37],
[23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei-
oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu
~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie
aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3])
Le~s(z) = Li~s(z) +X
~t
Li~t
(z),
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41
aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa
e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z).
Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?-
iie noiiu P
~s P~s(z
?1
) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea
aaeinoaaiii.
Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x)
Q(x)
eae I(R) =
deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo
ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)).
Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au-
iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai
j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e
yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P
niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo
aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj
.
Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia
X
n1n2...nl1
R(n1, n2, . . . , nl)z
n1?1
(3.3)
i?aanoaaeyaony a aeaa
X
~s
P~s(z
?1
) Le~s(z), (3.4)
aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae?
~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e
eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a-
aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n
?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi
ord
z=0
P?(z) 1, ord
z=0
P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1.
Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa
I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5)
oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42
Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio.
Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie-
oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo
i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) =
R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1
(x+pj )
uj
. Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa-
iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo
max(l! · (w(~u)2w(~u)
)
l?1P
l
, 1) (3.6)
e D
w(~u)?w(~s)
P P~s(z) ? Z[z].
Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu
X
n1n2...nl1
z
n1?1Y
l
j=1
1
(nj + pj )
uj
, (3.7)
i?e?ai min
16j6l
pj = p, max
16j6l
pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou
yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj
, m = rl = w(~u).
Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea
I(p1, p2, . . . , pl) = Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj
. I?e yoii iiea?ai
oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec
?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a
oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa-
?eoiia.
Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . ,
0) = z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z).
?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa
x1x2 . . . xrl =
1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl
)
z
neaaoao, ?oi
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43
?z
?1
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj?1
Ql?1
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . ,
xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1
I(p1, p2, . . . , pl) = z
?1
I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1)
? z
?1
·
1
p
ul
l
·
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj ? 1)uj
.
Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa-
iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii
oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii
n?eoaou p = min
16j6l
pj = 0.
Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai
(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
+(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph
(1 ? zx1x2 . . . xrh?1
)
?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh
)
ph?1
(1 ? zx1x2 . . . xrh
),
ec eioi?iai neaaoao
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl)
+
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
pj
Ql
j=1
j6=h?1
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
?
Z
[0,1]m
Ql
j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj
)
p
0
j
Ql
j=1
j6=h
(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm,
aaa p
0
j = pj i?e j 6= h e p
0
h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi
?aaainoai eae
I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl)
= I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44
+
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)
uh
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.9)
?
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
?
1
(nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1)
uh+1
·
Y
l?1
j=h+1
1
(nj + pj+1)
uj+1
(3.10)
A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae
1
p
ul
l
X
n1n2...nl?11
z
n1?1Y
l?1
j=1
1
(nj + pj )
uj
E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa
a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4).
Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea
I(p1, 0, . . . , 0) = Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1
Ql
j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm.
Ec ?aaainoaa
(x1x2 . . . xr1
)
p1 = z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1 ?z
?1
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
(1?zx1x2 . . . xr1
)
neaaoao
I(p1, 0, . . . , 0) = z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1
Z
[0,1]m
(x1x2 . . . xr1
)
p1?1
Ql
j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj
)
dx1dx2 . . . dxm
= z
?1
I(p1 ? 1, 0, . . . , 0)
? z
?1 X
n1...nl?11
z
n1?1
1
(n1 + p1 ? 1)u1n
u2
1
Y
l?1
j=2
1
n
uj+1
j
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45
Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei-
?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4)
oaia?u iieiinou? aieacaii.
Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo-
oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu-
aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou
P~s(z) ia i?aainoiayo
max X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
, 1
!
.
Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl
j=1 pj 6 l · P.
Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl).
Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a.
(l1, k1) (l2, k2) ? l1 l2 eee l1 = l2 e k1 k2.
Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi-
ia ?aaia z
?1 Leu1,u2,...,ul
(z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj 0 (a cia?eo e
P 0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa
(iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii
ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu,
iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph 0 i?e h 1).
?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)

uh

1
(nh?1 + ph?1)
uh?1+uh
,
o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou
i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t
(z) a a?
?acei?aiee ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2P
l?1
,
a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo D
m?w(~t)
P
. Anee ph?1 6= ph,
oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae
1
(nh?1 + ph?1)
uh?1 (nh?1 + ph)

uh

u
X
h?1
k=1
Ak
(nh?1 + ph?1)
k
+
X
uh
k=1
Bk
(nh?1 + ph)
k
,
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46
Ak = (?1)uh?1?k

uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k

1
(ph ? ph?1)
uh?1+uh?k
,
Bk = (?1)uh?k

uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k

1
(ph?1 ? ph)
uh?1+uh?k
.
Iianoaaeyy yoi ?aaainoai a (3.9), iu i?aanoaaei (3.9) a aeaa noiiu uh?1+
uh yeaiaioa?iuo noii (n eiyooeoeaioaie Ak e Bk), e ea?aie ec eioi?uo
ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. ?anniio?ei eaeo?-oi iaio
ec ieo
X
n1n2...nl?11
z
n1?1
h
Y?2
j=1
1
(nj + pj )
uj
·
1
(nh?1 + ph?1)
k
·
Y
l?1
j=h
1
(nj + pj+1)
uj+1
.
Ae niioaaonoao?o neaao?uea ia?aiao?u
l
0 = l ? 1, m
0 = m + k ? uh?1 ? uh, ~p0 = (p1, . . . , ph?2, ph?1, ph+1, . . . , pl).
Anee P~t
(z) iiiai?eaiu ?acei?aiey a eeiaeio? oi?io io iaiauai-
iuo iieeeiaa?eoiia, oi iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t
(z) aaeeo
D
m0?w(~t)
P
. Oae eae D
uh?1+uh?k
P Ak ? Z, oi D
m?w(~t)
P
(Ak · P~t
(z)) ? Z[z], ?oi e
o?aaoaony. Auniou P~t
(z) ia i?aainoiayo
(l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
.
Neaaiaaoaeuii, auniou iiiai?eaiia a ?acei?aiee noiiu (3.9) ia i?aain-
oiayo
u
X
h?1
k=1
Ak +
X
uh
k=1
Bk
!
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
u
X
h?1
k=1

uh?1 + uh ? k ? 1
uh?1 ? k

X uh k=1
uh?1 + uh ? k ? 1
uh ? k
!
? (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6(uh?1 + uh)2uh?1+uh?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6m2
m?2
· (l ? 1)! · (m2
m)
l?2
· P
l?1
6
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 47
Noiia (3.10) ?anniao?eaaaony aiaeiae?ii, a e eioaa?aeo I(p1, p2, . . . ,
ph ? 1, . . . , pl) ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. Aey anao o?ao
neaaaaiuo (3.8), (3.9), (3.10) a eeiaeiie oi?ia (3.4) ciaiaiaoaee eiyooe-
oeaioia iiiai?eaia i?e Le~t
(z) aaeyo D
m?w(~t)
P
. Auniou iiiai?eaiia P~s(z)
enoiaiie noiiu a neo?aa Pl
j=1 pj 1 ia i?aainoiayo
X
l
j=1
pj ? 1
!
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1 + 2 ·
1
2
· (l ? 1)! · (m2
mP)

l?1

X
l
j=1
pj
· (l ? 1)! · (m2
mP)
l?1
.
A neo?aa Pl
j=1 pj = 1, aaeoi?a iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia ec ?acei-
?aiey noii (3.9) e (3.10) eia?o aeeio iaiuoa l, a a ?acei?aiee I({0}l)
oieuei iaei iieeeiaa?eoi aeeiu l, o.a. iii?anoaa iieeeiaa?eoiia ia ia-
?anaea?ony e ioaiea ia auniou a yoii neo?aa oae?a ni?aaaaeeaa. Eaiia
oaia?u iieiinou? aieacaia.
Caia?aiea. Ii?ii auei au aieacuaaou i?aanoaaeaiea (3.4) aac ai-
iieieoaeuiiai i?aaiiei?aiey i oii, ?oi oai?aia 3.1 aa?ia aey ooieoee
R, caaenyueo io iaiaa ?ai l ia?aiaiiuo, ii oie ?a noaia, eae iu aiea-
cuaaee ooaa??aaiea i aunioao e a?eoiaoe?aneeo naienoaao eiyooeoeai-
oia iiiai?eaiia. Iaiaei aeaaiaa?y yoiio i?aaiiei?aie?, ooaa??aaiea
i oii, ?oi a neo?aa u1 2 auiieiyaony ?aaainoai P~s(1) = 0 i?e s1 = 1
aieacuaaaony aaoiiaoe?anee.
Iaciaai ?-noiiie au?a?aiea
X
?
n1=1
z
n1?1R1(n1)
n
X
1+?1
n2=1
R2(n2)· · ·
nl?X
1+?l?1
nl=1
Rl(nl),
aaa ?j oaeua iaio?eoaoaeuiua ?enea, iie?na Rj ea?ao ia io?acea
[?Pj
, ?pj
] e yaey?ony oaeuie ?eneaie e aey e?aiai j = 1, . . . , l auiie-
iyaony I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rl) + j 6 0.
Eaiia 3.3 E?aay ?-noiia F i?aanoaaeyaony a aeaa eiia?ii

Ответить
Жулики или жулик (представился антоном) 17.05.2017 в 13:48
Написал(а): Кирилл отрицательный
Билет в один конец... Все телефоны адреса - фейк. Я уже оставлял отзыв на др. сайтах. Я бы назвал деятельность этого магазина мошенничеством. Поняв то что мне прислали не то( хотя очень сильно по телефону убеждали что это именно то - простите за тафтологию) попытка обмена на др. пылесос потерпела неудачу. Пылесосом я до разбирательства я не пользовался..Менеджер сказал - без проблем.... И все. С тех пор на мои звонки никто не отвечает... Интернет магазин оказался липой... Доменное имя около 2 мес существовало (наш коллектив с 2013 и.т.д. и.т.п.) . Телефоны адреса и адрес откуда прислали посылку то же липа... Пробил все по интернету...( куда я раньше смотрел). Итог я получил пылесос уровня 11 тыс за 27 тыс.. С никому неизвестной фирмой Ашимо ... Теперь наслаждаюсь - !!! Пылесос середнячок - 1 мес в эксплуатации- емкость батареи уже упала с 1,5 часов до1 ч. явно не LiON. Перестал заряжаться с базы... Пришлось разобрать - контакт отошёл.. С с заездом на препятствия также справляется средне... застревает... Навигация отсутствует как таковая .... Теперь жду когда закончатся расходники и батарея...
Страницы:   4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
 
Добавление отзыва
  Ваше Имя:
  Заголовок отзыва:
  Текст отзыва:
  Ваша оценка: положительный
нейтральный
отрицательный
  Введите код:

Поля, помеченные , являются обязательными для заполнения.
Пользовательское Соглашение вступает в силу с момента выражения Вами согласия с его условиями путем регистрации на интернет ресурсе www.shopaudit.ru.
1. Предмет Пользовательского Соглашения
Администрация Интернет Сайта www.shopaudit.ru (дальше ИС) предлагает Вам свои услуги на условиях, являющихся предметом настоящего Пользовательского Соглашения (дальше ПС). Соглашение может быть изменено администрацией интернет сайта, без какого-либо специального уведомления, новая редакция Соглашения вступает в силу по истечении 3 (трех) дней с момента ее размещения, если иное не предусмотрено новой редакцией Соглашения. Действующая редакция ПС всегда находится на странице по адресу: http://www.shopaudit.ru/content/9.html.
2. Описание услуг
ИС предлагает пользователям доступ а систему управления отзывами и комментариями написанными пользователем к определённому им интернет магазину. Все существующие на данный момент службы, а также любое развитие их и/или добавление новых является предметом настоящего ПС. Вы понимаете и соглашаетесь с тем, что все службы предоставляются «как есть» и что ИС не несет ответственности ни за какие задержки, сбои в работе ИС, неверную или ошибочно размещенную информацию пользователями ИС, удаление или не сохранность какой-либо пользовательской персональной информации. Для того чтобы воспользоваться службами ИС, необходимо иметь компьютер и доступ в Интернет (WWW). Все вопросы приобретения прав доступа в Сеть, покупки и наладки для этого соответствующего оборудования и программных продуктов решаются Вами самостоятельно и не подпадают под действие Соглашения. Обратите внимание, что некоторые службы ИС могут содержать информацию для взрослых. Данное ПС предписывает лицам, не достигшим 18 лет, воздержаться от доступа к этой информации.
3. Ваши обязательства по регистрации
Для того чтобы воспользоваться службами ИС, Вы соглашаетесь предоставить правдивую, точную и полную информацию о себе по вопросам, предлагаемым в Форме Регистрации, и поддерживать эту информацию в актуальном состоянии. Если Вы предоставляете неверную информацию или у ИС есть серьезные основания полагать, что предоставленная Вами информация неверна, неполна или неточна, ИС имеет право приостановить либо отменить Вашу регистрацию и отказать Вам в использовании своих служб (либо их частей).
4. Ваша регистрация, пароль и безопасность
По завершении процесса регистрации Вы получите логин и пароль для доступа к персонализированной части служб ИС. Вы несете ответственность за безопасность Вашего логина и пароля, а также за все, что будет сделано на ИС под Вашим логином и паролем. ИС имеет право запретить использование определенных логинов и/или изъять их из обращения. Вы соглашаетесь с тем, что Вы обязаны немедленно уведомить ИС о любом случае неавторизованного (не разрешенного Вами) доступа с Вашим логином и паролем и/или о любом нарушении безопасности, а также с тем, что Вы самостоятельно осуществляете завершение работы под своим паролем (кнопка «Выход») по окончании каждой сессии работы со службами ИС. ИС не отвечает за возможную потерю или порчу данных, которая может произойти из-за нарушения Вами положений этой части ПС.
5. Поведение зарегистрированного пользователя
Вы понимаете и принимаете, что за всю информацию, данные, текст, программы, музыку, звуки, фотографии, графику, видео, сообщения и другие материалы («контент»), размещенные для общего доступа или переданные в частном порядке, ответственно то лицо, которое этот контент произвело. Это означает, что Вы, а не ИС, полностью отвечаете за весь контент, который Вы загружаете, посылаете, передаете или каким-либо другим способом делаете доступным с помощью служб ИС. ИС не контролирует контент, передаваемый через его службы, и, следовательно, не гарантирует точность, полноту или качество этого контента. Вы понимаете, что, используя службы ИС, Вы можете увидеть контент, который является оскорбительным, недостойным или спорным. Ни при каких обстоятельствах ИС не несет ответственности за контент, созданный пользователями его служб.
Вы соглашаетесь не использовать службы ИС для:
  1. загрузки, посылки, передачи или любого другого способа размещения контента, который является незаконным, вредоносным, угрожающим, клеветническим, оскорбляет нравственность, нарушает авторские права, пропагандирует ненависть и/или дискриминацию людей по расовому, этническому, половому, религиозному, социальному признакам, содержит оскорбления в адрес конкретных лиц или организаций;
  2. нарушения прав несовершеннолетних лиц и/или причинение им вреда в любой форме;
  3. ущемления прав меньшинств;
  4. выдавания себя за другого человека или представителя организации и/или сообщества без достаточных на то прав, в том числе за сотрудников ИС, за модераторов форумов, за владельца сайта, а также введения в заблуждение относительно свойств и характеристик каких-либо субъектов или объектов;
  5. загрузки, посылки, передачи или любого другого способа размещения контента, который Вы не имеете права делать доступным по закону РФ или согласно каким-либо контрактным отношениям;
  6. загрузки, посылки, передачи или любого другого способа размещения контента, который затрагивает какой-либо патент, торговую марку, коммерческую тайну, копирайт или прочие права собственности и/или авторские и смежные с ним права третьей стороны;
  7. загрузки, посылки, передачи или любого другого способа размещения не разрешенной специальным образом рекламной информации, спама (в том числе и поискового), списков чужих адресов электронной почты, схем «пирамид», многоуровневого (сетевого) маркетинга (MLM), систем интернет-заработка и e-mail-бизнесов, «писем счастья», а также для участия в этих мероприятиях (отправка несогласованных писем со ссылками на предоставляемые ИС службы, включая почтовые адреса, сайты, закладки и т.п.) может считаться участием в запрещенных настоящим пунктом мероприятиях, даже если отправка производилась без непосредственного использования почтовых серверов ИС);
  8. загрузки, посылки, передачи или любого другого способа размещения каких-либо материалов, содержащих вирусы или другие компьютерные коды, файлы или программы, предназначенные для нарушения, уничтожения либо ограничения функциональности любого компьютерного или телекоммуникационного оборудования или программ, для осуществления несанкционированного доступа, а также серийные номера к коммерческим программным продуктам и программы для их генерации, логины, пароли и прочие средства для получения несанкционированного доступа к платным ресурсам в Интернете, а также размещения ссылок на вышеуказанную информацию;
  9. умышленного нарушения местного, российского законодательства или норм международного права;
  10. сбора и хранения персональных данных других лиц;
  11. нарушения нормальной работы веб-сайта ИС;
  12. применения любых форм и способов незаконного представительства других лиц в Сети;
  13. размещения ссылок на ресурсы Сети, содержание которых противоречит действующему законодательству РФ;
  14. содействия действиям, направленным на нарушение ограничений и запретов, налагаемых Соглашением.
Вы признаете, что ИС не обязан просматривать контент любого вида перед размещением, а также то, что ИС имеет право (но не обязанность) по своему усмотрению отказать в размещении или удалить любой контент, который доступен через одну из служб ИС. Вы согласны с тем, что Вы должны самостоятельно оценивать все риски, связанные с использованием контента, включая оценку надежности, полноты или полезности этого контента.
Вы понимаете, что технология работы служб может потребовать передачи Вашего контента по компьютерным сетям, а также изменения его для соответствия техническим требованиям.
6. Право пользования регистрацией на ИС
Вы соглашаетесь не воспроизводить, не повторять и не копировать, не продавать и не перепродавать, а также не использовать для каких-либо коммерческих целей какие-либо части служб ИС, использование служб или доступ к ним, кроме тех случаев, когда такое разрешение дано Вам ИС. Зарегистрировавшись на ИС, Вы получаете непередаваемое право пользоваться своей регистрацией (логином и паролем) для доступа к службам ИС. Вы не имеете права передавать свою регистрацию (логин и пароль) третьему лицу, а также не имеете права получать его от третьего лица иначе, чем с письменного согласия ИС. ИС не несет никакой ответственности ни по каким договорам между Вами и третьими лицами.
7. Общие положения об использовании и хранении
Вы признаете, что ИС может устанавливать ограничения в использовании служб, в том числе: срок хранения сообщений и любого другого контента, максимальное количество сообщений, которые могут быть посланы или получены одним зарегистрированным пользователем, максимальный размер почтового сообщения или дискового пространства, максимальное количество обращений к службе за указанный период времени и т.д. ИС может запретить автоматическое обращение к своим службам, а также прекратить прием любой информации, сгенерированной автоматически (например, почтового спама). ИС  по своему усмотрению может перестать поддерживать связность с сетями, нарушающими принципы взаимодействия. Администрация ИС может посылать своим пользователям информационные сообщения. ИС не несет ответственности ни за какие задержки, сбои, неверную или несвоевременную доставку, удаление или несохранность какой-либо пользовательской персональной информации. Вы согласны с тем, что ИС оставляет за собой право удалить пользователей, которые не использовали свой доступ в течение долгого времени. Вы также признаете, что ИС может поменять правила и ограничения в любое время, с или без предварительного уведомления.
9. Прекращение регистрации
Вы согласны с тем, что ИС оставляет за собой право прекратить действие Вашего логина и пароля на любой из служб и удалить любой контент по любой причине, в том числе при неиспользовании доступа или при нарушении ПС. ИС может в любой момент закрыть любую из своих служб, с или без предварительного уведомления. ИС также не несет никакой ответственности за прекращение доступа к своим службам.
10. Ссылки
Службы ИС могут содержать ссылки на другие ресурсы. Вы признаете и соглашаетесь с тем, что ИС не несет никакой ответственности за доступность этих ресурсов и за их контент, а также за любые последствия, связанные с использованием контента этих ресурсов.
11. Права собственности ИС
Вы признаете и соглашаетесь с тем, что службы ИС и все необходимые программы, связанные с ними, содержат конфиденциальную информацию, которая защищена законами об интеллектуальной собственности и прочими российскими и международными законами, а контент, предоставляемый Вам в процессе использования служб, защищен авторскими правами, торговыми марками, патентами и прочими соответствующими законами. Кроме случаев, специально оговоренных ИС или его рекламодателями, Вы соглашаетесь не модифицировать, не продавать, не распространять этот контент и программы, целиком либо по частям.
ИС предоставляет Вам личное неисключительное и непередаваемое право использовать программное обеспечение, предоставляемое в службах, на одном компьютере, при условии, что ни Вы сами, ни любые иные лица при содействии с Вашей стороны не будут копировать или изменять программное обеспечение; создавать программы, производные от программного обеспечения; проникать в программное обеспечение с целью получения кодов программ; осуществлять продажу, уступку, сдачу в аренду, передачу третьим лицам в любой иной форме прав в отношении программного обеспечения служб, предоставленных Вам по ПС, а также модифицировать службы, в том числе с целью получения несанкционированного доступа к ним.
12. Освобождение от гарантий
Вы понимаете и соглашаетесь с тем, что:
  1. Вы используете службы ИС на Ваш собственный риск. Службы предоставляются «как есть». ИС не принимает на себя никакой ответственности, в том числе и за соответствие службы цели пользователя;
  2. ИС не гарантирует, что: службы будут соответствовать Вашим требованиям; службы будут предоставляться непрерывно, быстро, надежно и без ошибок; результаты, которые могут быть получены с использованием служб, будут точными и надежными; качество какого-либо продукта, услуги, информации и пр., полученного с использованием служб, будет соответствовать Вашим ожиданиям; все ошибки в программах будут исправлены;
  3. Любые материалы, полученные Вами с использованием служб ИС, Вы можете использовать на свой собственный страх и риск, на Вас возлагается ответственность за любой ущерб, который может быть нанесен Вашему компьютеру и Вашим данным в результате загрузки этих материалов;
  4. ИС не несет ответственности за любые прямые или непрямые убытки, произошедшие из-за: использования либо невозможности использования службы; несанкционированного доступа к Вашим коммуникациям; заявления или поведение любого третьего лица в службах;
  5. При любых обстоятельствах ответственность ИС в соответствии со статьей 15 Гражданского кодекса России ограничена 10 000 (десятью тысячами) рублей и возлагается на него при наличии в его действиях вины.
13. Общая информация
13.1. ПС является юридически обязывающим договором между Вами и ИС и регламентирует использование Вами служб ИС. Соответствующими договорами на Вас также могут быть наложены дополнительные обязательства, связанные с использованием других служб, а также контента или программного обеспечения, принадлежащего третьей стороне.
13.2. Вы и ИС соглашаетесь на то, что все возможные споры по поводу ПС будут разрешаться по нормам российского права.
13.3. Ввиду безвозмездности услуг, оказываемых в рамках ПС, нормы о защите прав потребителей не могут быть к нему применимыми. В случае если ПС будет придан возмездный характер, в него будут внесены соответствующие изменения в целях соблюдения указанных норм.
13.4. Ничто в ПС не может пониматься как установление между Вами и ИС агентских отношений, отношений товарищества, отношений по совместной деятельности, отношений личного найма, либо каких-то иных отношений, прямо не предусмотренных ПС.
13.5. Признание судом какого-либо положения ПС недействительным или не подлежащим принудительному исполнению не влечет недействительности или неисполнимости иных положений Соглашения.
13.6. Бездействие со стороны ИС в случае нарушения Вами либо иными пользователями положений ПС не лишает ИС права предпринять соответствующие действия в защиту своих интересов позднее, а также не означает отказа ИС от своих прав в случае совершения в последующем подобных либо сходных нарушений.
15.12.2007
Я соглашаюсь с условиями пользовательского соглашения


Яндекс.Метрика