Не реально рад этой покупке, вещь дорогая но он чертовски экономит моё время на уборке. Я им третью неделю пользуюсь и кроме плюсов ничего сказать не могу. Работает стабильно, мощный и тихий одновременно, это редкое сочетание. Можно выбрать сухую или влажную уборку, аккумулятор радует тем что заряда хватает на несколько уборок, после чего он сам возвращается на базу для подзарядки. Крутейшая вещь, мы с женой довольны.
wewe
11.12.2017 в 10:10
33qw3
положительный
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2 · · · nm 1} ?e(s1, s2, . . . , sm) = X M0 1 n s1 1 · · · n sl l . Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}. 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30 Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai- noai aey ?yaia X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X Nl 1 n s1 1 · · · n sl l ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sl , sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l . Neaaiaaoaeuii, ?e(s1, s2, . . . , sm) = X l?1 k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)l?1 X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X l k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)lX Ml 1 n s1 1 · · · n sl l , ?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae X Mm?1 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sm, sm?1, . . . , s1). Oai?aia aieacaia. Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao- aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2]. Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii. Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj i=1 si e iiiai?eaiu Q0 = 1, Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk(1). 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31 Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2 Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk(z) = Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk j=1(1 ? zx1 . . . xrj ) . A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5. ?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia I? = 1, Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk , ? 0. Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk (0) = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7. Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1). Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = Z [0,1]rk ? ln(1 ? Qk) Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk+1 dx0dx1 · · · dxrk 1 ? x0Qk Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi- aeiinou eioaa?aea Z [0,1]rk ln(1 ? Qk)(1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk . 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32 i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa- aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk ) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua neaaaaiua) 1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1 ? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1 . . . ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1 ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii. Aaaaai ??(s1, s2, . . . , sl) = X n1n2···nl1 1 (n1 + ?) s1 · · ·(nl + ?) sl , aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony i?e ? 0. Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk (?) = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11) Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk )). Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk ). ?acei?ei a iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei- oaa?e?iaaiey 0 Qk 1) Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk X ? n=0 (1 ? Qk) n+? dx1 · · · dxrk 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33 = X ? n=0 Z [0,1]rk (x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q 0 ))n+? dx1 · · · dxrk . Oae eae (1?Qk) n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a- ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V, § 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea X ? n=0 an = Z ? 0 f(t) dt, aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2, . . . , xs1 . Is1,s2,...,sk (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 Z [0,1]rk?s1 1 ? (1 ? Q0 ) n+? Q0 dxs1+1 · · · dxrk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 Is2,s3,...,sk (n + ?). (2.12) Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey k = 1 Is1 (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 = ??(s1). I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk (n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai Is1,s2,...,sk (?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 X k?1 j=1 (?1)j?1 ?n+?(sj+1, sj , . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X k?1 j=1 (?1)j?1 ??(sj+1, sj , . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk , 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34 ?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio. Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1) = X k j=1 (?1)j?1X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei ? = 0 d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = X k j=1 (?1)j?1 d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia ??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1), a ec ii?aaaeaiey ??(sj , sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0 neaaoao, ?oi d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 = ? X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1). Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu. Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e k = 2, ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1) = s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1). A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou i?aao? ?anou aey e?auo k. Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai ?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1). 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35 Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee f?(x) = X ? k=0 (?1)k ??({s}k)x k = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5. I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu- coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei X ? k=1 ?e({2, {1}s?2}k, 1)x k = g(x) d d? [f?(x)]?=0 = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 d d? Y ? j=1
1 ? x (j + ?) s # ?=0 = X ? j=1 1 1 ? x j s sx j s+1 = X ? k=1 s?(sk + 1)x k . 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa- cia?aiee E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a- coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a- ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa. N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?- uea iii?anoaa B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36 Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu. Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s), ~s ? Bw( ~s0) . Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16. Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae X ? w=0 dwx w = 1 1 ? w2 ? w3 . Oae eae ?({2}k) = ? 2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa ?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao. Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa- eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai- aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?, anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e ?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei- iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe e?aoiuo acaoa-cia?aiee. Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi , i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . , yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi , ?oi 1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37 Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1, B1 e C1i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi A1 + B1x + X k?1 i=1 C1ixyi = 0. Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0, oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau, ?oi A2 + B2x + X 16i6k,i6=p C2ixyi = 0. Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia ?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0) (B1A2 ? B2A1)x + X k i=1 (C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0. Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi , i?e- ?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi . Eaiia aieacaia. Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l ?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k). Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a- ?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana, i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi , ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene- iu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38 Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi dimQ(Q ? M ~s?B3?···?B2l+5 Q?(~s)) l + 2. Oae?a, i?aaeaii, dimQ(Q ? M ~s?B2?···?B2l Q?(~s)) l + 1. Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia ~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}, ?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 = {(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}. Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39 Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao- ?e?aneiai eioaa?aea Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 (1 ? zx1x2 . . . xm) a0 dx1dx2 . . . dxm i?e iaoo?aeuiuo ai , bi a aeaa Pm s=0 Ps(z ?1 ) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia- uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a- oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie. A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa Z [0,1]3 x n 1 (1 ? x1) nx n 2 (1 ? x2) nx n 3 (1 ? x3) n (1 ? zx1x2) n+1(1 ? zx1x2x3) n+1 dx1dx2dx3 (3.1) = P2,1(z ?1 ) Le2,1(z) + P1,1(z ?1 ) Le1,1(z) + P1(z ?1 ) Le1(z) + P?(z ?1 ) e Z [0,1]2l Q2l i=1 x ai?1 i (1 ? xi) n Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l (3.2) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40 = X l k=0 Pk(z ?1 ) Li{2}k (z) +X l?1 k=0 Tk(z ?1 ) Li1,{2}k (z), aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa. A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a- iea eioaa?aea S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 r1 r2 · · · rl = m. a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou- ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi? ~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a v~0 , iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i- ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai eiyooeoeaioia. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie ia- ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z). Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37], [23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei- oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu ~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3]) Le~s(z) = Li~s(z) +X ~t Li~t (z), 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41 aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z). Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?- iie noiiu P ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea aaeinoaaiii. Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x) Q(x) eae I(R) = deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)). Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au- iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj . Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia X n1n2...nl1 R(n1, n2, . . . , nl)z n1?1 (3.3) i?aanoaaeyaony a aeaa X ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), (3.4) aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae? ~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a- aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi ord z=0 P?(z) 1, ord z=0 P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1. Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5) oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42 Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio. Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie- oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1 (x+pj ) uj . Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa- iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo max(l! · (w(~u)2w(~u) ) l?1P l , 1) (3.6) e D w(~u)?w(~s) P P~s(z) ? Z[z]. Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu X n1n2...nl1 z n1?1Y l j=1 1 (nj + pj ) uj , (3.7) i?e?ai min 16j6l pj = p, max 16j6l pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj , m = rl = w(~u). Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea I(p1, p2, . . . , pl) = Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj . I?e yoii iiea?ai oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec ?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa- ?eoiia. Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . , 0) = z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). ?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa x1x2 . . . xrl = 1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl ) z neaaoao, ?oi I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43 ?z ?1 Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj?1 Ql?1 j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . , xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1 I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) ? z ?1 · 1 p ul l · X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ? 1)uj . Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa- iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii n?eoaou p = min 16j6l pj = 0. Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 +(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph (1 ? zx1x2 . . . xrh?1 ) ?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 (1 ? zx1x2 . . . xrh ), ec eioi?iai neaaoao I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) + Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1 j6=h?1 (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm ? Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) p 0 j Ql j=1 j6=h (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm, aaa p 0 j = pj i?e j 6= h e p 0 h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi ?aaainoai eae I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44 + X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.9) ? X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?1 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1) uh+1 · Y l?1 j=h+1 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.10) A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae 1 p ul l X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ) uj E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea I(p1, 0, . . . , 0) = Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. Ec ?aaainoaa (x1x2 . . . xr1 ) p1 = z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 ?z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 (1?zx1x2 . . . xr1 ) neaaoao I(p1, 0, . . . , 0) = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 Ql j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 X n1...nl?11 z n1?1 1 (n1 + p1 ? 1)u1n u2 1 Y l?1 j=2 1 n uj+1 j , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45 Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei- ?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4) oaia?u iieiinou? aieacaii. Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo- oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu- aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou P~s(z) ia i?aainoiayo max X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 , 1 ! . Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl j=1 pj 6 l · P. Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl). Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a. (l1, k1) (l2, k2) ? l1 l2 eee l1 = l2 e k1 k2. Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi- ia ?aaia z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj 0 (a cia?eo e P 0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa (iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu, iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph 0 i?e h 1). ?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh = 1 (nh?1 + ph?1) uh?1+uh , o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t (z) a a? ?acei?aiee ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2P l?1 ,Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2 · · · nm 1} ?e(s1, s2, . . . , sm) = X M0 1 n s1 1 · · · n sl l . Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}. 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30 Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai- noai aey ?yaia X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X Nl 1 n s1 1 · · · n sl l ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sl , sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l . Neaaiaaoaeuii, ?e(s1, s2, . . . , sm) = X l?1 k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)l?1 X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X l k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)lX Ml 1 n s1 1 · · · n sl l , ?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae X Mm?1 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sm, sm?1, . . . , s1). Oai?aia aieacaia. Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao- aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2]. Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii. Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj i=1 si e iiiai?eaiu Q0 = 1, Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk(1). 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31 Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2 Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk(z) = Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk j=1(1 ? zx1 . . . xrj ) . A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5. ?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia I? = 1, Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk , ? 0. Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk (0) = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7. Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1). Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = Z [0,1]rk ? ln(1 ? Qk) Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk+1 dx0dx1 · · · dxrk 1 ? x0Qk Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi- aeiinou eioaa?aea Z [0,1]rk ln(1 ? Qk)(1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk . 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32 i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa- aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk ) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua neaaaaiua) 1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1 ? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1 . . . ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1 ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii. Aaaaai ??(s1, s2, . . . , sl) = X n1n2···nl1 1 (n1 + ?) s1 · · ·(nl + ?) sl , aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony i?e ? 0. Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk (?) = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11) Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk )). Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk ). ?acei?ei a iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei- oaa?e?iaaiey 0 Qk 1) Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk X ? n=0 (1 ? Qk) n+? dx1 · · · dxrk 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33 = X ? n=0 Z [0,1]rk (x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q 0 ))n+? dx1 · · · dxrk . Oae eae (1?Qk) n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a- ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V, § 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea X ? n=0 an = Z ? 0 f(t) dt, aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2, . . . , xs1 . Is1,s2,...,sk (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 Z [0,1]rk?s1 1 ? (1 ? Q0 ) n+? Q0 dxs1+1 · · · dxrk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 Is2,s3,...,sk (n + ?). (2.12) Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey k = 1 Is1 (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 = ??(s1). I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk (n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai Is1,s2,...,sk (?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 X k?1 j=1 (?1)j?1 ?n+?(sj+1, sj , . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X k?1 j=1 (?1)j?1 ??(sj+1, sj , . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk , 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34 ?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio. Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1) = X k j=1 (?1)j?1X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei ? = 0 d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = X k j=1 (?1)j?1 d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia ??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1), a ec ii?aaaeaiey ??(sj , sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0 neaaoao, ?oi d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 = ? X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1). Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu. Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e k = 2, ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1) = s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1). A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou i?aao? ?anou aey e?auo k. Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai ?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1). 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35 Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee f?(x) = X ? k=0 (?1)k ??({s}k)x k = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5. I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu- coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei X ? k=1 ?e({2, {1}s?2}k, 1)x k = g(x) d d? [f?(x)]?=0 = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 d d? Y ? j=1
1 ? x (j + ?) s # ?=0 = X ? j=1 1 1 ? x j s sx j s+1 = X ? k=1 s?(sk + 1)x k . 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa- cia?aiee E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a- coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a- ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa. N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?- uea iii?anoaa B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36 Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu. Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s), ~s ? Bw( ~s0) . Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16. Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae X ? w=0 dwx w = 1 1 ? w2 ? w3 . Oae eae ?({2}k) = ? 2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa ?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao. Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa- eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai- aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?, anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e ?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei- iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe e?aoiuo acaoa-cia?aiee. Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi , i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . , yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi , ?oi 1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37 Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1, B1 e C1i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi A1 + B1x + X k?1 i=1 C1ixyi = 0. Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0, oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau, ?oi A2 + B2x + X 16i6k,i6=p C2ixyi = 0. Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia ?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0) (B1A2 ? B2A1)x + X k i=1 (C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0. Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi , i?e- ?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi . Eaiia aieacaia. Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l ?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k). Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a- ?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana, i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi , ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene- iu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38 Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi dimQ(Q ? M ~s?B3?···?B2l+5 Q?(~s)) l + 2. Oae?a, i?aaeaii, dimQ(Q ? M ~s?B2?···?B2l Q?(~s)) l + 1. Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia ~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}, ?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 = {(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}. Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39 Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao- ?e?aneiai eioaa?aea Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 (1 ? zx1x2 . . . xm) a0 dx1dx2 . . . dxm i?e iaoo?aeuiuo ai , bi a aeaa Pm s=0 Ps(z ?1 ) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia- uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a- oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie. A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa Z [0,1]3 x n 1 (1 ? x1) nx n 2 (1 ? x2) nx n 3 (1 ? x3) n (1 ? zx1x2) n+1(1 ? zx1x2x3) n+1 dx1dx2dx3 (3.1) = P2,1(z ?1 ) Le2,1(z) + P1,1(z ?1 ) Le1,1(z) + P1(z ?1 ) Le1(z) + P?(z ?1 ) e Z [0,1]2l Q2l i=1 x ai?1 i (1 ? xi) n Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l (3.2) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40 = X l k=0 Pk(z ?1 ) Li{2}k (z) +X l?1 k=0 Tk(z ?1 ) Li1,{2}k (z), aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa. A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a- iea eioaa?aea S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 r1 r2 · · · rl = m. a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou- ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi? ~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a v~0 , iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i- ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai eiyooeoeaioia. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie ia- ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z). Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37], [23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei- oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu ~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3]) Le~s(z) = Li~s(z) +X ~t Li~t (z), 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41 aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z). Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?- iie noiiu P ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea aaeinoaaiii. Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x) Q(x) eae I(R) = deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)). Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au- iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj . Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia X n1n2...nl1 R(n1, n2, . . . , nl)z n1?1 (3.3) i?aanoaaeyaony a aeaa X ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), (3.4) aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae? ~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a- aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi ord z=0 P?(z) 1, ord z=0 P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1. Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5) oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42 Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio. Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie- oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1 (x+pj ) uj . Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa- iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo max(l! · (w(~u)2w(~u) ) l?1P l , 1) (3.6) e D w(~u)?w(~s) P P~s(z) ? Z[z]. Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu X n1n2...nl1 z n1?1Y l j=1 1 (nj + pj ) uj , (3.7) i?e?ai min 16j6l pj = p, max 16j6l pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj , m = rl = w(~u). Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea I(p1, p2, . . . , pl) = Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj . I?e yoii iiea?ai oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec ?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa- ?eoiia. Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . , 0) = z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). ?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa x1x2 . . . xrl = 1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl ) z neaaoao, ?oi I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43 ?z ?1 Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj?1 Ql?1 j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . , xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1 I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) ? z ?1 · 1 p ul l · X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ? 1)uj . Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa- iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii n?eoaou p = min 16j6l pj = 0. Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 +(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph (1 ? zx1x2 . . . xrh?1 ) ?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 (1 ? zx1x2 . . . xrh ), ec eioi?iai neaaoao I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) + Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1 j6=h?1 (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm ? Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) p 0 j Ql j=1 j6=h (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm, aaa p 0 j = pj i?e j 6= h e p 0 h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi ?aaainoai eae I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44 + X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.9) ? X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?1 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1) uh+1 · Y l?1 j=h+1 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.10) A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae 1 p ul l X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ) uj E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea I(p1, 0, . . . , 0) = Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. Ec ?aaainoaa (x1x2 . . . xr1 ) p1 = z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 ?z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2 · · · nm 1} ?e(s1, s2, . . . , sm) = X M0 1 n s1 1 · · · n sl l . Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}. 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30 Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai- noai aey ?yaia X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X Nl 1 n s1 1 · · · n sl l ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sl , sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l . Neaaiaaoaeuii, ?e(s1, s2, . . . , sm) = X l?1 k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)l?1 X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X l k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)lX Ml 1 n s1 1 · · · n sl l , ?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae X Mm?1 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sm, sm?1, . . . , s1). Oai?aia aieacaia. Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao- aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2]. Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii. Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj i=1 si e iiiai?eaiu Q0 = 1, Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk(1). 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31 Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2 Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk(z) = Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk j=1(1 ? zx1 . . . xrj ) . A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5. ?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia I? = 1, Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk , ? 0. Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk (0) = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7. Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1). Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = Z [0,1]rk ? ln(1 ? Qk) Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk+1 dx0dx1 · · · dxrk 1 ? x0Qk Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi- aeiinou eioaa?aea Z [0,1]rk ln(1 ? Qk)(1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk . 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32 i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa- aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk ) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua neaaaaiua) 1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1 ? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1 . . . ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1 ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii. Aaaaai ??(s1, s2, . . . , sl) = X n1n2···nl1 1 (n1 + ?) s1 · · ·(nl + ?) sl , aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony i?e ? 0. Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk (?) = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11) Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk )). Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk ). ?acei?ei a iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei- oaa?e?iaaiey 0 Qk 1) Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk X ? n=0 (1 ? Qk) n+? dx1 · · · dxrk 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33 = X ? n=0 Z [0,1]rk (x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q 0 ))n+? dx1 · · · dxrk . Oae eae (1?Qk) n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a- ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V, § 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea X ? n=0 an = Z ? 0 f(t) dt, aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2, . . . , xs1 . Is1,s2,...,sk (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 Z [0,1]rk?s1 1 ? (1 ? Q0 ) n+? Q0 dxs1+1 · · · dxrk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 Is2,s3,...,sk (n + ?). (2.12) Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey k = 1 Is1 (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 = ??(s1). I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk (n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai Is1,s2,...,sk (?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 X k?1 j=1 (?1)j?1 ?n+?(sj+1, sj , . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X k?1 j=1 (?1)j?1 ??(sj+1, sj , . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk , 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34 ?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio. Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1) = X k j=1 (?1)j?1X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei ? = 0 d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = X k j=1 (?1)j?1 d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia ??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1), a ec ii?aaaeaiey ??(sj , sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0 neaaoao, ?oi d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 = ? X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1). Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu. Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e k = 2, ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1) = s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1). A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou i?aao? ?anou aey e?auo k. Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai ?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1). 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35 Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee f?(x) = X ? k=0 (?1)k ??({s}k)x k = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5. I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu- coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei X ? k=1 ?e({2, {1}s?2}k, 1)x k = g(x) d d? [f?(x)]?=0 = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 d d? Y ? j=1
1 ? x (j + ?) s # ?=0 = X ? j=1 1 1 ? x j s sx j s+1 = X ? k=1 s?(sk + 1)x k . 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa- cia?aiee E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a- coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a- ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa. N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?- uea iii?anoaa B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36 Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu. Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s), ~s ? Bw( ~s0) . Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16. Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae X ? w=0 dwx w = 1 1 ? w2 ? w3 . Oae eae ?({2}k) = ? 2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa ?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao. Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa- eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai- aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?, anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e ?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei- iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe e?aoiuo acaoa-cia?aiee. Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi , i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . , yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi , ?oi 1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37 Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1, B1 e C1i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi A1 + B1x + X k?1 i=1 C1ixyi = 0. Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0, oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau, ?oi A2 + B2x + X 16i6k,i6=p C2ixyi = 0. Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia ?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0) (B1A2 ? B2A1)x + X k i=1 (C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0. Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi , i?e- ?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi . Eaiia aieacaia. Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l ?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k). Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a- ?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana, i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi , ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene- iu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38 Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi dimQ(Q ? M ~s?B3?···?B2l+5 Q?(~s)) l + 2. Oae?a, i?aaeaii, dimQ(Q ? M ~s?B2?···?B2l Q?(~s)) l + 1. Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia ~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}, ?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 = {(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}. Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39 Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao- ?e?aneiai eioaa?aea Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 (1 ? zx1x2 . . . xm) a0 dx1dx2 . . . dxm i?e iaoo?aeuiuo ai , bi a aeaa Pm s=0 Ps(z ?1 ) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia- uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a- oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie. A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa Z [0,1]3 x n 1 (1 ? x1) nx n 2 (1 ? x2) nx n 3 (1 ? x3) n (1 ? zx1x2) n+1(1 ? zx1x2x3) n+1 dx1dx2dx3 (3.1) = P2,1(z ?1 ) Le2,1(z) + P1,1(z ?1 ) Le1,1(z) + P1(z ?1 ) Le1(z) + P?(z ?1 ) e Z [0,1]2l Q2l i=1 x ai?1 i (1 ? xi) n Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l (3.2) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40 = X l k=0 Pk(z ?1 ) Li{2}k (z) +X l?1 k=0 Tk(z ?1 ) Li1,{2}k (z), aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa. A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a- iea eioaa?aea S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 r1 r2 · · · rl = m. a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou- ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi? ~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a v~0 , iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i- ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai eiyooeoeaioia. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie ia- ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z). Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37], [23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei- oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu ~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3]) Le~s(z) = Li~s(z) +X ~t Li~t (z), 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41 aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z). Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?- iie noiiu P ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea aaeinoaaiii. Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x) Q(x) eae I(R) = deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)). Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au- iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj . Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia X n1n2...nl1 R(n1, n2, . . . , nl)z n1?1 (3.3) i?aanoaaeyaony a aeaa X ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), (3.4) aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae? ~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a- aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi ord z=0 P?(z) 1, ord z=0 P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1. Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5) oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42 Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio. Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie- oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1 (x+pj ) uj . Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa- iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo max(l! · (w(~u)2w(~u) ) l?1P l , 1) (3.6) e D w(~u)?w(~s) P P~s(z) ? Z[z]. Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu X n1n2...nl1 z n1?1Y l j=1 1 (nj + pj ) uj , (3.7) i?e?ai min 16j6l pj = p, max 16j6l pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj , m = rl = w(~u). Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea I(p1, p2, . . . , pl) = Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj . I?e yoii iiea?ai oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec ?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa- ?eoiia. Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . , 0) = z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). ?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa x1x2 . . . xrl = 1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl ) z neaaoao, ?oi I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43 ?z ?1 Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj?1 Ql?1 j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . , xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1 I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) ? z ?1 · 1 p ul l · X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ? 1)uj . Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa- iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii n?eoaou p = min 16j6l pj = 0. Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 +(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph (1 ? zx1x2 . . . xrh?1 ) ?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 (1 ? zx1x2 . . . xrh ), ec eioi?iai neaaoao I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) + Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1 j6=h?1 (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm ? Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) p 0 j Q
Мошейники
24.11.2017 в 04:01
Евгений
отрицательный
Ребята не покупайте данный пылесос, это китайская подделка. Пылесос сломался через месяц, стали крутиться передние щетки постоянно, даже на зарядке. Звонки в сервисный центр не дали результатов -никто не отвечает. Сервисные центры в городе не смогли отремонтировать. Начал искать в других городах сервис и не нашел, что оказалось не удивительным. Компании ashimo не существует!!!! Поищите в гугле про ашимо, почему то выходят ссылки только на рускоязычные сайты. Я позвонил в представительство ashimo, телефон указан на сайте, но телефон не работает. дальше посмотрел кому принадлежит домен ashimo.jp оказалось Vladimir Chulkov. Так же посмотрел на али экспресс этот пылесос - нашел разница только в картинке на верхней крышке и цена с доставкой данного чуда 13 500. Вот и думайте стоит ли платить такие деньги за китайский ноунейм. Будьте бдительней!!!!!!!!!!
Настоящий шедевр техники
16.11.2017 в 17:17
Юра
положительный
Пылесосом пользуюсь относительно недавно, но уже успел отвыкнуть от старого пылесоса и надоевшего мне процесса пылесосить. Робот-пылесос это высший класс, очень крутая вещь, практичный и качественный. А как он по комнате бродит во время уборки, просто обалдеть, по началу моя дочка думала что это игрушка :) Очень радует меня его мощность, любой пушистый ковёр запросто пылесосит, чувствуется запас мощи. И отличная батарея, никаких тебе проводов. Заряжаю пылесос примерно раз в 5-6 дней, т.е. на три уборки заряда хватает легко. Короче, я очень рад что его купил.
ЦУЙ
13.11.2017 в 17:11
324
отрицательный
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2 · · · nm 1} ?e(s1, s2, . . . , sm) = X M0 1 n s1 1 · · · n sl l . Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}. 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30 Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai- noai aey ?yaia X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X Nl 1 n s1 1 · · · n sl l ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sl , sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l . Neaaiaaoaeuii, ?e(s1, s2, . . . , sm) = X l?1 k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)l?1 X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X l k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)lX Ml 1 n s1 1 · · · n sl l , ?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae X Mm?1 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sm, sm?1, . . . , s1). Oai?aia aieacaia. Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao- aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2]. Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii. Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj i=1 si e iiiai?eaiu Q0 = 1, Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk(1). 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31 Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2 Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk(z) = Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk j=1(1 ? zx1 . . . xrj ) . A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5. ?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia I? = 1, Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk , ? 0. Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk (0) = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7. Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1). Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = Z [0,1]rk ? ln(1 ? Qk) Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk+1 dx0dx1 · · · dxrk 1 ? x0Qk Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi- aeiinou eioaa?aea Z [0,1]rk ln(1 ? Qk)(1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk . 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32 i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa- aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk ) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua neaaaaiua) 1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1 ? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1 . . . ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1 ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii. Aaaaai ??(s1, s2, . . . , sl) = X n1n2···nl1 1 (n1 + ?) s1 · · ·(nl + ?) sl , aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony i?e ? 0. Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk (?) = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11) Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk )). Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk ). ?acei?ei a iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei- oaa?e?iaaiey 0 Qk 1) Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk X ? n=0 (1 ? Qk) n+? dx1 · · · dxrk 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33 = X ? n=0 Z [0,1]rk (x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q 0 ))n+? dx1 · · · dxrk . Oae eae (1?Qk) n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a- ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V, § 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea X ? n=0 an = Z ? 0 f(t) dt, aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2, . . . , xs1 . Is1,s2,...,sk (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 Z [0,1]rk?s1 1 ? (1 ? Q0 ) n+? Q0 dxs1+1 · · · dxrk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 Is2,s3,...,sk (n + ?). (2.12) Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey k = 1 Is1 (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 = ??(s1). I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk (n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai Is1,s2,...,sk (?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 X k?1 j=1 (?1)j?1 ?n+?(sj+1, sj , . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X k?1 j=1 (?1)j?1 ??(sj+1, sj , . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk , 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34 ?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio. Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1) = X k j=1 (?1)j?1X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei ? = 0 d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = X k j=1 (?1)j?1 d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia ??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1), a ec ii?aaaeaiey ??(sj , sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0 neaaoao, ?oi d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 = ? X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1). Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu. Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e k = 2, ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1) = s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1). A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou i?aao? ?anou aey e?auo k. Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai ?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1). 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35 Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee f?(x) = X ? k=0 (?1)k ??({s}k)x k = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5. I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu- coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei X ? k=1 ?e({2, {1}s?2}k, 1)x k = g(x) d d? [f?(x)]?=0 = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 d d? Y ? j=1
1 ? x (j + ?) s # ?=0 = X ? j=1 1 1 ? x j s sx j s+1 = X ? k=1 s?(sk + 1)x k . 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa- cia?aiee E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a- coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a- ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa. N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?- uea iii?anoaa B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36 Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu. Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s), ~s ? Bw( ~s0) . Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16. Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae X ? w=0 dwx w = 1 1 ? w2 ? w3 . Oae eae ?({2}k) = ? 2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa ?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao. Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa- eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai- aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?, anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e ?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei- iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe e?aoiuo acaoa-cia?aiee. Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi , i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . , yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi , ?oi 1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37 Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1, B1 e C1i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi A1 + B1x + X k?1 i=1 C1ixyi = 0. Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0, oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau, ?oi A2 + B2x + X 16i6k,i6=p C2ixyi = 0. Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia ?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0) (B1A2 ? B2A1)x + X k i=1 (C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0. Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi , i?e- ?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi . Eaiia aieacaia. Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l ?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k). Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a- ?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana, i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi , ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene- iu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38 Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi dimQ(Q ? M ~s?B3?···?B2l+5 Q?(~s)) l + 2. Oae?a, i?aaeaii, dimQ(Q ? M ~s?B2?···?B2l Q?(~s)) l + 1. Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia ~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}, ?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 = {(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}. Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39 Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao- ?e?aneiai eioaa?aea Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 (1 ? zx1x2 . . . xm) a0 dx1dx2 . . . dxm i?e iaoo?aeuiuo ai , bi a aeaa Pm s=0 Ps(z ?1 ) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia- uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a- oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie. A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa Z [0,1]3 x n 1 (1 ? x1) nx n 2 (1 ? x2) nx n 3 (1 ? x3) n (1 ? zx1x2) n+1(1 ? zx1x2x3) n+1 dx1dx2dx3 (3.1) = P2,1(z ?1 ) Le2,1(z) + P1,1(z ?1 ) Le1,1(z) + P1(z ?1 ) Le1(z) + P?(z ?1 ) e Z [0,1]2l Q2l i=1 x ai?1 i (1 ? xi) n Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l (3.2) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40 = X l k=0 Pk(z ?1 ) Li{2}k (z) +X l?1 k=0 Tk(z ?1 ) Li1,{2}k (z), aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa. A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a- iea eioaa?aea S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 r1 r2 · · · rl = m. a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou- ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi? ~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a v~0 , iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i- ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai eiyooeoeaioia. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie ia- ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z). Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37], [23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei- oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu ~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3]) Le~s(z) = Li~s(z) +X ~t Li~t (z), 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41 aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z). Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?- iie noiiu P ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea aaeinoaaiii. Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x) Q(x) eae I(R) = deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)). Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au- iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj . Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia X n1n2...nl1 R(n1, n2, . . . , nl)z n1?1 (3.3) i?aanoaaeyaony a aeaa X ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), (3.4) aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae? ~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a- aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi ord z=0 P?(z) 1, ord z=0 P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1. Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5) oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42 Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio. Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie- oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1 (x+pj ) uj . Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa- iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo max(l! · (w(~u)2w(~u) ) l?1P l , 1) (3.6) e D w(~u)?w(~s) P P~s(z) ? Z[z]. Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu X n1n2...nl1 z n1?1Y l j=1 1 (nj + pj ) uj , (3.7) i?e?ai min 16j6l pj = p, max 16j6l pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj , m = rl = w(~u). Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea I(p1, p2, . . . , pl) = Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj . I?e yoii iiea?ai oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec ?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa- ?eoiia. Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . , 0) = z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). ?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa x1x2 . . . xrl = 1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl ) z neaaoao, ?oi I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43 ?z ?1 Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj?1 Ql?1 j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . , xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1 I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) ? z ?1 · 1 p ul l · X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ? 1)uj . Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa- iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii n?eoaou p = min 16j6l pj = 0. Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 +(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph (1 ? zx1x2 . . . xrh?1 ) ?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 (1 ? zx1x2 . . . xrh ), ec eioi?iai neaaoao I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) + Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1 j6=h?1 (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm ? Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) p 0 j Ql j=1 j6=h (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm, aaa p 0 j = pj i?e j 6= h e p 0 h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi ?aaainoai eae I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44 + X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.9) ? X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?1 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1) uh+1 · Y l?1 j=h+1 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.10) A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae 1 p ul l X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ) uj E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea I(p1, 0, . . . , 0) = Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. Ec ?aaainoaa (x1x2 . . . xr1 ) p1 = z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 ?z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 (1?zx1x2 . . . xr1 ) neaaoao I(p1, 0, . . . , 0) = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 Ql j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 X n1...nl?11 z n1?1 1 (n1 + p1 ? 1)u1n u2 1 Y l?1 j=2 1 n uj+1 j , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45 Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei- ?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4) oaia?u iieiinou? aieacaii. Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo- oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu- aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou P~s(z) ia i?aainoiayo max X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 , 1 ! . Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl j=1 pj 6 l · P. Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl). Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a. (l1, k1) (l2, k2) ? l1 l2 eee l1 = l2 e k1 k2. Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi- ia ?aaia z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj 0 (a cia?eo e P 0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa (iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu, iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph 0 i?e h 1). ?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh = 1 (nh?1 + ph?1) uh?1+uh , o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t (z) a a? ?acei?aiee ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2P l?1 ,Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2 · · · nm 1} ?e(s1, s2, . . . , sm) = X M0 1 n s1 1 · · · n sl l . Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}. 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30 Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai- noai aey ?yaia X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X Nl 1 n s1 1 · · · n sl l ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sl , sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l . Neaaiaaoaeuii, ?e(s1, s2, . . . , sm) = X l?1 k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)l?1 X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X l k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)lX Ml 1 n s1 1 · · · n sl l , ?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae X Mm?1 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sm, sm?1, . . . , s1). Oai?aia aieacaia. Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao- aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2]. Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii. Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj i=1 si e iiiai?eaiu Q0 = 1, Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk(1). 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31 Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2 Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk(z) = Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk j=1(1 ? zx1 . . . xrj ) . A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5. ?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia I? = 1, Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk , ? 0. Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk (0) = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7. Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1). Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = Z [0,1]rk ? ln(1 ? Qk) Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk+1 dx0dx1 · · · dxrk 1 ? x0Qk Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi- aeiinou eioaa?aea Z [0,1]rk ln(1 ? Qk)(1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk . 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32 i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa- aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk ) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua neaaaaiua) 1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1 ? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1 . . . ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1 ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii. Aaaaai ??(s1, s2, . . . , sl) = X n1n2···nl1 1 (n1 + ?) s1 · · ·(nl + ?) sl , aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony i?e ? 0. Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk (?) = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11) Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk )). Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk ). ?acei?ei a iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei- oaa?e?iaaiey 0 Qk 1) Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk X ? n=0 (1 ? Qk) n+? dx1 · · · dxrk 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33 = X ? n=0 Z [0,1]rk (x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q 0 ))n+? dx1 · · · dxrk . Oae eae (1?Qk) n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a- ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V, § 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea X ? n=0 an = Z ? 0 f(t) dt, aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2, . . . , xs1 . Is1,s2,...,sk (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 Z [0,1]rk?s1 1 ? (1 ? Q0 ) n+? Q0 dxs1+1 · · · dxrk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 Is2,s3,...,sk (n + ?). (2.12) Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey k = 1 Is1 (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 = ??(s1). I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk (n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai Is1,s2,...,sk (?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 X k?1 j=1 (?1)j?1 ?n+?(sj+1, sj , . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X k?1 j=1 (?1)j?1 ??(sj+1, sj , . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk , 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34 ?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio. Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1) = X k j=1 (?1)j?1X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei ? = 0 d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = X k j=1 (?1)j?1 d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia ??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1), a ec ii?aaaeaiey ??(sj , sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0 neaaoao, ?oi d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 = ? X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1). Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu. Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e k = 2, ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1) = s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1). A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou i?aao? ?anou aey e?auo k. Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai ?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1). 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35 Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee f?(x) = X ? k=0 (?1)k ??({s}k)x k = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5. I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu- coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei X ? k=1 ?e({2, {1}s?2}k, 1)x k = g(x) d d? [f?(x)]?=0 = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 d d? Y ? j=1
1 ? x (j + ?) s # ?=0 = X ? j=1 1 1 ? x j s sx j s+1 = X ? k=1 s?(sk + 1)x k . 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa- cia?aiee E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a- coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a- ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa. N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?- uea iii?anoaa B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36 Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu. Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s), ~s ? Bw( ~s0) . Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16. Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae X ? w=0 dwx w = 1 1 ? w2 ? w3 . Oae eae ?({2}k) = ? 2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa ?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao. Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa- eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai- aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?, anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e ?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei- iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe e?aoiuo acaoa-cia?aiee. Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi , i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . , yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi , ?oi 1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37 Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1, B1 e C1i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi A1 + B1x + X k?1 i=1 C1ixyi = 0. Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0, oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau, ?oi A2 + B2x + X 16i6k,i6=p C2ixyi = 0. Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia ?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0) (B1A2 ? B2A1)x + X k i=1 (C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0. Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi , i?e- ?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi . Eaiia aieacaia. Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l ?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k). Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a- ?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana, i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi , ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene- iu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38 Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi dimQ(Q ? M ~s?B3?···?B2l+5 Q?(~s)) l + 2. Oae?a, i?aaeaii, dimQ(Q ? M ~s?B2?···?B2l Q?(~s)) l + 1. Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia ~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}, ?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 = {(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}. Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39 Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao- ?e?aneiai eioaa?aea Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 (1 ? zx1x2 . . . xm) a0 dx1dx2 . . . dxm i?e iaoo?aeuiuo ai , bi a aeaa Pm s=0 Ps(z ?1 ) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia- uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a- oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie. A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa Z [0,1]3 x n 1 (1 ? x1) nx n 2 (1 ? x2) nx n 3 (1 ? x3) n (1 ? zx1x2) n+1(1 ? zx1x2x3) n+1 dx1dx2dx3 (3.1) = P2,1(z ?1 ) Le2,1(z) + P1,1(z ?1 ) Le1,1(z) + P1(z ?1 ) Le1(z) + P?(z ?1 ) e Z [0,1]2l Q2l i=1 x ai?1 i (1 ? xi) n Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l (3.2) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40 = X l k=0 Pk(z ?1 ) Li{2}k (z) +X l?1 k=0 Tk(z ?1 ) Li1,{2}k (z), aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa. A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a- iea eioaa?aea S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 r1 r2 · · · rl = m. a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou- ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi? ~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a v~0 , iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i- ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai eiyooeoeaioia. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie ia- ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z). Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37], [23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei- oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu ~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3]) Le~s(z) = Li~s(z) +X ~t Li~t (z), 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41 aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z). Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?- iie noiiu P ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea aaeinoaaiii. Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x) Q(x) eae I(R) = deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)). Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au- iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj . Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia X n1n2...nl1 R(n1, n2, . . . , nl)z n1?1 (3.3) i?aanoaaeyaony a aeaa X ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), (3.4) aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae? ~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a- aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi ord z=0 P?(z) 1, ord z=0 P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1. Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5) oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42 Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio. Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie- oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1 (x+pj ) uj . Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa- iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo max(l! · (w(~u)2w(~u) ) l?1P l , 1) (3.6) e D w(~u)?w(~s) P P~s(z) ? Z[z]. Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu X n1n2...nl1 z n1?1Y l j=1 1 (nj + pj ) uj , (3.7) i?e?ai min 16j6l pj = p, max 16j6l pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj , m = rl = w(~u). Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea I(p1, p2, . . . , pl) = Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj . I?e yoii iiea?ai oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec ?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa- ?eoiia. Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . , 0) = z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). ?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa x1x2 . . . xrl = 1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl ) z neaaoao, ?oi I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43 ?z ?1 Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj?1 Ql?1 j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . , xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1 I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) ? z ?1 · 1 p ul l · X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ? 1)uj . Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa- iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii n?eoaou p = min 16j6l pj = 0. Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 +(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph (1 ? zx1x2 . . . xrh?1 ) ?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 (1 ? zx1x2 . . . xrh ), ec eioi?iai neaaoao I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) + Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1 j6=h?1 (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm ? Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) p 0 j Ql j=1 j6=h (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm, aaa p 0 j = pj i?e j 6= h e p 0 h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi ?aaainoai eae I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44 + X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.9) ? X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?1 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1) uh+1 · Y l?1 j=h+1 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.10) A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae 1 p ul l X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ) uj E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea I(p1, 0, . . . , 0) = Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. Ec ?aaainoaa (x1x2 . . . xr1 ) p1 = z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 ?z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 (1?zx1x2 . . . xr1 ) neaaoao I(p1, 0, . . . , 0) = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 Ql j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 X n1...nl?11 z n1?1 1 (n1 + p1 ? 1)u1n u2 1 Y l?1 j=2 1 n uj+1 j , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45 Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei- ?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4) oaia?u iieiinou? aieacaii. Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo- oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu- aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou P~s(z) ia i?aainoiayo max X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 , 1 ! . Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl j=1 pj 6 l · P. Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl). Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a. (l1, k1) (l2, k2) ? l1 l2 eee l1 = l2 e k1 k2. Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi- ia ?aaia z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj 0 (a cia?eo e P 0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa (iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu, iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph 0 i?e h 1). ?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh = 1 (nh?1 + ph?1) uh?1+uh , o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t (z) a a? ?acei?aiee ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2P l?1 , a iauee ciaiaiaoaeu eiyo Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2 · · · nm 1} ?e(s1, s2, . . . , sm) = X M0 1 n s1 1 · · · n sl l . Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}. 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30 Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai- noai aey ?yaia X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X Nl 1 n s1 1 · · · n sl l ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sl , sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l . Neaaiaaoaeuii, ?e(s1, s2, . . . , sm) = X l?1 k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)l?1 X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X l k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)lX Ml 1 n s1 1 · · · n sl l , ?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae X Mm?1 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sm, sm?1, . . . , s1). Oai?aia aieacaia. Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao- aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2]. Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii. Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj i=1 si e iiiai?eaiu Q0 = 1, Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk(1). 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31 Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2 Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk(z) = Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk j=1(1 ? zx1 . . . xrj ) . A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5. ?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia I? = 1, Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk , ? 0. Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk (0) = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7. Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1). Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = Z [0,1]rk ? ln(1 ? Qk) Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk+1 dx0dx1 · · · dxrk 1 ? x0Qk Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi- aeiinou eioaa?aea Z [0,1]rk ln(1 ? Qk)(1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk . 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32 i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa- aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk ) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua neaaaaiua) 1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1 ? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1 . . . ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1 ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii. Aaaaai ??(s1, s2, . . . , sl) = X n1n2···nl1 1 (n1 + ?) s1 · · ·(nl + ?) sl , aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony i?e ? 0. Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk (?) = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11) Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk )). Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk ). ?acei?ei a iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei- oaa?e?iaaiey 0 Qk 1) Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk X ? n=0 (1 ? Qk) n+? dx1 · · · dxrk 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33 = X ? n=0 Z [0,1]rk (x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q 0 ))n+? dx1 · · · dxrk . Oae eae (1?Qk) n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a- ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V, § 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea X ? n=0 an = Z ? 0 f(t) dt, aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2, . . . , xs1 . Is1,s2,...,sk (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 Z [0,1]rk?s1 1 ? (1 ? Q0 ) n+? Q0 dxs1+1 · · · dxrk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 Is2,s3,...,sk (n + ?). (2.12) Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey k = 1 Is1 (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 = ??(s1). I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk (n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai Is1,s2,...,sk (?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 X k?1 j=1 (?1)j?1 ?n+?(sj+1, sj , . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X k?1 j=1 (?1)j?1 ??(sj+1, sj , . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk , 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34 ?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio. Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1) = X k j=1 (?1)j?1X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei ? = 0 d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = X k j=1 (?1)j?1 d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia ??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1), a ec ii?aaaeaiey ??(sj , sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0 neaaoao, ?oi d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 = ? X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1). Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu. Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e k = 2, ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1) = s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1). A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou i?aao? ?anou aey e?auo k. Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai ?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1). 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35 Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee f?(x) = X ? k=0 (?1)k ??({s}k)x k = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5. I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu- coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei X ? k=1 ?e({2, {1}s?2}k, 1)x k = g(x) d d? [f?(x)]?=0 = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 d d? Y ? j=1
1 ? x (j + ?) s # ?=0 = X ? j=1 1 1 ? x j s sx j s+1 = X ? k=1 s?(sk + 1)x k . 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa- cia?aiee E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a- coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a- ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa. N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?- uea iii?anoaa B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36 Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu. Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s), ~s ? Bw( ~s0) . Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16. Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae X ? w=0 dwx w = 1 1 ? w2 ? w3 . Oae eae ?({2}k) = ? 2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa ?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao. Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa- eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai- aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?, anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e ?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei- iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe e?aoiuo acaoa-cia?aiee. Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi , i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . , yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi , ?oi 1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37 Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1, B1 e C1i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi A1 + B1x + X k?1 i=1 C1ixyi = 0. Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0, oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau, ?oi A2 + B2x + X 16i6k,i6=p C2ixyi = 0. Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia ?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0) (B1A2 ? B2A1)x + X k i=1 (C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0. Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi , i?e- ?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi . Eaiia aieacaia. Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l ?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k). Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a- ?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana, i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi , ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene- iu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38 Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi dimQ(Q ? M ~s?B3?···?B2l+5 Q?(~s)) l + 2. Oae?a, i?aaeaii, dimQ(Q ? M ~s?B2?···?B2l Q?(~s)) l + 1. Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia ~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}, ?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 = {(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}. Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39 Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao- ?e?aneiai eioaa?aea Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 (1 ? zx1x2 . . . xm) a0 dx1dx2 . . . dxm i?e iaoo?aeuiuo ai , bi a aeaa Pm s=0 Ps(z ?1 ) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia- uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a- oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie. A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa Z [0,1]3 x n 1 (1 ? x1) nx n 2 (1 ? x2) nx n 3 (1 ? x3) n (1 ? zx1x2) n+1(1 ? zx1x2x3) n+1 dx1dx2dx3 (3.1) = P2,1(z ?1 ) Le2,1(z) + P1,1(z ?1 ) Le1,1(z) + P1(z ?1 ) Le1(z) + P?(z ?1 ) e Z [0,1]2l Q2l i=1 x ai?1 i (1 ? xi) n Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l (3.2) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40 = X l k=0 Pk(z ?1 ) Li{2}k (z) +X l?1 k=0 Tk(z ?1 ) Li1,{2}k (z), aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa. A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a- iea eioaa?aea S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 r1 r2 · · · rl = m. a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou- ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi? ~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a v~0 , iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i- ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai eiyooeoeaioia. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie ia- ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z). Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37], [23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei- oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu ~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3]) Le~s(z) = Li~s(z) +X ~t Li~t (z), 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41 aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z). Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?- iie noiiu P ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea aaeinoaaiii. Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x) Q(x) eae I(R) = deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)). Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au- iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj . Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia X n1n2...nl1 R(n1, n2, . . . , nl)z n1?1 (3.3) i?aanoaaeyaony a aeaa X ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), (3.4) aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae? ~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a- aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi ord z=0 P?(z) 1, ord z=0 P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1. Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5) oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42 Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio. Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie- oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1 (x+pj ) uj . Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa- iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo max(l! · (w(~u)2w(~u) ) l?1P l , 1) (3.6) e D w(~u)?w(~s) P P~s(z) ? Z[z]. Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu X n1n2...nl1 z n1?1Y l j=1 1 (nj + pj ) uj , (3.7) i?e?ai min 16j6l pj = p, max 16j6l pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj , m = rl = w(~u). Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea I(p1, p2, . . . , pl) = Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm.
цуйц
13.11.2017 в 17:10
увцй
отрицательный
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2 · · · nm 1} ?e(s1, sывФЦЫВ2, . . . , sm) = X M0 1 n s1 1 · · · n sl l . Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}. 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30 Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai- noai aey ?yaia X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X Nl 1 n s1 1 · · · n sl l ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sl , sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l . Neaaiaaoaeuii, ?e(s1, s2, . . . , sm) = X l?1 k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)l?1 X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X l k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)lX Ml 1 n s1 1 · · · n sl l , ?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae X Mm?1 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sm, sm?1, . . . , s1). Oai?aia aieacaia. Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao- aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2]. Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii. Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj i=1 si e iiiai?eaiu Q0 = 1, Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk(1). 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31 Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2 Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk(z) = Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk j=1(1 ? zx1 . . . xrj ) . A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5. ?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia I? = 1, Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk , ? 0. Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk (0) = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7. Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1). Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = Z [0,1]rk ? ln(1 ? Qk) Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk+1 dx0dx1 · · · dxrk 1 ? x0Qk Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi- aeiinou eioaa?aea Z [0,1]rk ln(1 ? Qk)(1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk . 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32 i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa- aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk ) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua neaaaaiua) 1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1 ? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1 . . . ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1 ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii. Aaaaai ??(s1, s2, . . . , sl) = X n1n2···nl1 1 (n1 + ?) s1 · · ·(nl + ?) sl , aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony i?e ? 0. Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk (?) = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11) Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk )). Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk ). ?acei?ei a iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei- oaa?e?iaaiey 0 Qk 1) Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk X ? n=0 (1 ? Qk) n+? dx1 · · · dxrk 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33 = X ? n=0 Z [0,1]rk (x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q 0 ))n+? dx1 · · · dxrk . Oae eae (1?Qk) n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a- ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V, § 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea X ? n=0 an = Z ? 0 f(t) dt, aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2, . . . , xs1 . Is1,s2,...,sk (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 Z [0,1]rk?s1 1 ? (1 ? Q0 ) n+? Q0 dxs1+1 · · · dxrk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 Is2,s3,...,sk (n + ?). (2.12) Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey k = 1 Is1 (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 = ??(s1). I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk (n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai Is1,s2,...,sk (?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 X k?1 j=1 (?1)j?1 ?n+?(sj+1, sj , . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X k?1 j=1 (?1)j?1 ??(sj+1, sj , . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk , 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34 ?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio. Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1) = X k j=1 (?1)j?1X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei ? = 0 d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = X k j=1 (?1)j?1 d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia ??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1), a ec ii?aaaeaiey ??(sj , sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0 neaaoao, ?oi d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 = ? X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1). Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu. Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e k = 2, ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1) = s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1). A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou i?aao? ?anou aey e?auo k. Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai ?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1). 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35 Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee f?(x) = X ? k=0 (?1)k ??({s}k)x k = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5. I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu- coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei X ? k=1 ?e({2, {1}s?2}k, 1)x k = g(x) d d? [f?(x)]?=0 = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 d d? Y ? j=1
1 ? x (j + ?) s # ?=0 = X ? j=1 1 1 ? x j s sx j s+1 = X ? k=1 s?(sk + 1)x k . 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa- cia?aiee E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a- coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a- ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa. N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?- uea iii?anoaa B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36 Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu. Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s), ~s ? Bw( ~s0) . Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16. Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae X ? w=0 dwx w = 1 1 ? w2 ? w3 . Oae eae ?({2}k) = ? 2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa ?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao. Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa- eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai- aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?, anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e ?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei- iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe e?aoiuo acaoa-cia?aiee. Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi , i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . , yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi , ?oi 1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37 Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1, B1 e C1i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi A1 + B1x + X k?1 i=1 C1ixyi = 0. Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0, oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau, ?oi A2 + B2x + X 16i6k,i6=p C2ixyi = 0. Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia ?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0) (B1A2 ? B2A1)x + X k i=1 (C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0. Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi , i?e- ?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi . Eaiia aieacaia. Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l ?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k). Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a- ?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana, i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi , ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene- iu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38 Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi dimQ(Q ? M ~s?B3?···?B2l+5 Q?(~s)) l + 2. Oae?a, i?aaeaii, dimQ(Q ? M ~s?B2?···?B2l Q?(~s)) l + 1. Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia ~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}, ?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 = {(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}. Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39 Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao- ?e?aneiai eioaa?aea Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 (1 ? zx1x2 . . . xm) a0 dx1dx2 . . . dxm i?e iaoo?aeuiuo ai , bi a aeaa Pm s=0 Ps(z ?1 ) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia- uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a- oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie. A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa Z [0,1]3 x n 1 (1 ? x1) nx n 2 (1 ? x2) nx n 3 (1 ? x3) n (1 ? zx1x2) n+1(1 ? zx1x2x3) n+1 dx1dx2dx3 (3.1) = P2,1(z ?1 ) Le2,1(z) + P1,1(z ?1 ) Le1,1(z) + P1(z ?1 ) Le1(z) + P?(z ?1 ) e Z [0,1]2l Q2l i=1 x ai?1 i (1 ? xi) n Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l (3.2) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40 = X l k=0 Pk(z ?1 ) Li{2}k (z) +X l?1 k=0 Tk(z ?1 ) Li1,{2}k (z), aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa. A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a- iea eioaa?aea S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 r1 r2 · · · rl = m. a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou- ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi? ~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a v~0 , iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i- ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai eiyooeoeaioia. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie ia- ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z). Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37], [23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei- oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu ~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3]) Le~s(z) = Li~s(z) +X ~t Li~t (z), 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41 aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z). Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?- iie noiiu P ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea aaeinoaaiii. Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x) Q(x) eae I(R) = deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)). Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au- iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj . Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia X n1n2...nl1 R(n1, n2, . . . , nl)z n1?1 (3.3) i?aanoaaeyaony a aeaa X ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), (3.4) aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae? ~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a- aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi ord z=0 P?(z) 1, ord z=0 P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1. Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5) oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42 Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio. Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie- oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1 (x+pj ) uj . Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa- iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo max(l! · (w(~u)2w(~u) ) l?1P l , 1) (3.6) e D w(~u)?w(~s) P P~s(z) ? Z[z]. Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu X n1n2...nl1 z n1?1Y l j=1 1 (nj + pj ) uj , (3.7) i?e?ai min 16j6l pj = p, max 16j6l pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj , m = rl = w(~u). Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea I(p1, p2, . . . , pl) = Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj . I?e yoii iiea?ai oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec ?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa- ?eoiia. Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . , 0) = z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). ?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa x1x2 . . . xrl = 1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl ) z neaaoao, ?oi I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43 ?z ?1 Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj?1 Ql?1 j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . , xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1 I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) ? z ?1 · 1 p ul l · X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ? 1)uj . Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa- iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii n?eoaou p = min 16j6l pj = 0. Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 +(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph (1 ? zx1x2 . . . xrh?1 ) ?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 (1 ? zx1x2 . . . xrh ), ec eioi?iai neaaoao I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) + Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1 j6=h?1 (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm ? Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) p 0 j Ql j=1 j6=h (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm, aaa p 0 j = pj i?e j 6= h e p 0 h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi ?aaainoai eae I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44 + X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.9) ? X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?1 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1) uh+1 · Y l?1 j=h+1 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.10) A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae 1 p ul l X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ) uj E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea I(p1, 0, . . . , 0) = Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. Ec ?aaainoaa (x1x2 . . . xr1 ) p1 = z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 ?z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 (1?zx1x2 . . . xr1 ) neaaoao I(p1, 0, . . . , 0) = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 Ql j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 X n1...nl?11 z n1?1 1 (n1 + p1 ? 1)u1n u2 1 Y l?1 j=2 1 n uj+1 j , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45 Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei- ?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4) oaia?u iieiinou? aieacaii. Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo- oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu- aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou P~s(z) ia i?aainoiayo max X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 , 1 ! . Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl j=1 pj 6 l · P. Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl). Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a. (l1, k1) (l2, k2) ? l1 l2 eee l1 = l2 e k1 k2. Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi- ia ?aaia z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj 0 (a cia?eo e P 0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa (iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu, iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph 0 i?e h 1). ?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh = 1 (nh?1 + ph?1) uh?1+uh , o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t (z) a a? ?acei?aiee ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2P l?1 , a iauee ciaiaiaoaeu eiyoAaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2 · · · nm 1} ?e(s1, s2, . . . , sm) = X M0 1 n s1 1 · · · n sl l . Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}. 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30 Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai- noai aey ?yaia X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X Nl 1 n s1 1 · · · n sl l ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sl , sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l . Neaaiaaoaeuii, ?e(s1, s2, . . . , sm) = X l?1 k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)l?1 X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X l k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)lX Ml 1 n s1 1 · · · n sl l , ?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae X Mm?1 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sm, sm?1, . . . , s1). Oai?aia aieacaia. Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao- aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2]. Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii. Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj i=1 si e iiiai?eaiu Q0 = 1, Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk(1). 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31 Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2 Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk(z) = Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk j=1(1 ? zx1 . . . xrj ) . A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5. ?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia I? = 1, Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk , ? 0. Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk (0) = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7. Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1). Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = Z [0,1]rk ? ln(1 ? Qk) Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk+1 dx0dx1 · · · dxrk 1 ? x0Qk Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi- aeiinou eioaa?aea Z [0,1]rk ln(1 ? Qk)(1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk . 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32 i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa- aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk ) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua neaaaaiua) 1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1 ? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1 . . . ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1 ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii. Aaaaai ??(s1, s2, . . . , sl) = X n1n2···nl1 1 (n1 + ?) s1 · · ·(nl + ?) sl , aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony i?e ? 0. Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk (?) = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11) Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk )). Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk ). ?acei?ei a iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei- oaa?e?iaaiey 0 Qk 1) Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk X ? n=0 (1 ? Qk) n+? dx1 · · · dxrk 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33 = X ? n=0 Z [0,1]rk (x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q 0 ))n+? dx1 · · · dxrk . Oae eae (1?Qk) n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a- ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V, § 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea X ? n=0 an = Z ? 0 f(t) dt, aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2, . . . , xs1 . Is1,s2,...,sk (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 Z [0,1]rk?s1 1 ? (1 ? Q0 ) n+? Q0 dxs1+1 · · · dxrk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 Is2,s3,...,sk (n + ?). (2.12) Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey k = 1 Is1 (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 = ??(s1). I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk (n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai Is1,s2,...,sk (?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 X k?1 j=1 (?1)j?1 ?n+?(sj+1, sj , . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X k?1 j=1 (?1)j?1 ??(sj+1, sj , . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk , 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34 ?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio. Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1) = X k j=1 (?1)j?1X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei ? = 0 d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = X k j=1 (?1)j?1 d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia ??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1), a ec ii?aaaeaiey ??(sj , sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0 neaaoao, ?oi d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 = ? X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1). Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu. Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e k = 2, ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1) = s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1). A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou i?aao? ?anou aey e?auo k. Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai ?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1). 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35 Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee f?(x) = X ? k=0 (?1)k ??({s}k)x k = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5. I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu- coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei X ? k=1 ?e({2, {1}s?2}k, 1)x k = g(x) d d? [f?(x)]?=0 = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 d d? Y ? j=1
1 ? x (j + ?) s # ?=0 = X ? j=1 1 1 ? x j s sx j s+1 = X ? k=1 s?(sk + 1)x k . 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa- cia?aiee E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a- coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a- ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa. N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?- uea iii?anoaa B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36 Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu. Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s), ~s ? Bw( ~s0) . Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16. Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae X ? w=0 dwx w = 1 1 ? w2 ? w3 . Oae eae ?({2}k) = ? 2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa ?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao. Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa- eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai- aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?, anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e ?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei- iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe e?aoiuo acaoa-cia?aiee. Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi , i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . , yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi , ?oi 1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37 Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1, B1 e C1i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi A1 + B1x + X k?1 i=1 C1ixyi = 0. Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0, oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau, ?oi A2 + B2x + X 16i6k,i6=p C2ixyi = 0. Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia ?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0) (B1A2 ? B2A1)x + X k i=1 (C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0. Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi , i?e- ?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi . Eaiia aieacaia. Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l ?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k). Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a- ?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana, i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi , ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene- iu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38 Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi dimQ(Q ? M ~s?B3?···?B2l+5 Q?(~s)) l + 2. Oae?a, i?aaeaii, dimQ(Q ? M ~s?B2?···?B2l Q?(~s)) l + 1. Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia ~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}, ?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 = {(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}. Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39 Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao- ?e?aneiai eioaa?aea Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 (1 ? zx1x2 . . . xm) a0 dx1dx2 . . . dxm i?e iaoo?aeuiuo ai , bi a aeaa Pm s=0 Ps(z ?1 ) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia- uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a- oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie. A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa Z [0,1]3 x n 1 (1 ? x1) nx n 2 (1 ? x2) nx n 3 (1 ? x3) n (1 ? zx1x2) n+1(1 ? zx1x2x3) n+1 dx1dx2dx3 (3.1) = P2,1(z ?1 ) Le2,1(z) + P1,1(z ?1 ) Le1,1(z) + P1(z ?1 ) Le1(z) + P?(z ?1 ) e Z [0,1]2l Q2l i=1 x ai?1 i (1 ? xi) n Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l (3.2) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40 = X l k=0 Pk(z ?1 ) Li{2}k (z) +X l?1 k=0 Tk(z ?1 ) Li1,{2}k (z), aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa. A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a- iea eioaa?aea S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 r1 r2 · · · rl = m. a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou- ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi? ~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a v~0 , iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i- ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai eiyooeoeaioia. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie ia- ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z). Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37], [23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei- oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu ~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3]) Le~s(z) = Li~s(z) +X ~t Li~t (z), 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41 aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z). Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?- iie noiiu P ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea aaeinoaaiii. Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x) Q(x) eae I(R) = deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)). Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au- iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj . Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia X n1n2...nl1 R(n1, n2, . . . , nl)z n1?1 (3.3) i?aanoaaeyaony a aeaa X ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), (3.4) aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae? ~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a- aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi ord z=0 P?(z) 1, ord z=0 P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1. Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5) oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42 Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio. Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie- oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1 (x+pj ) uj . Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa- iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo max(l! · (w(~u)2w(~u) ) l?1P l , 1) (3.6) e D w(~u)?w(~s) P P~s(z) ? Z[z]. Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu X n1n2...nl1 z n1?1Y l j=1 1 (nj + pj ) uj , (3.7) i?e?ai min 16j6l pj = p, max 16j6l pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj , m = rl = w(~u). Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea I(p1, p2, . . . , pl) = Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj . I?e yoii iiea?ai oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec ?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa- ?eoiia. Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . , 0) = z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). ?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa x1x2 . . . xrl = 1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl ) z neaaoao, ?oi I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43 ?z ?1 Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj?1 Ql?1 j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . , xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1 I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) ? z ?1 · 1 p ul l · X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ? 1)uj . Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa- iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii n?eoaou p = min 16j6l pj = 0. Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 +(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph (1 ? zx1x2 . . . xrh?1 ) ?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 (1 ? zx1x2 . . . xrh ), ec eioi?iai neaaoao I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) + Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1 j6=h?1 (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm ? Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) p 0 j Ql j=1 j6=h (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm, aaa p 0 j = pj i?e j 6= h e p 0 h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi ?aaainoai eae I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44 + X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.9) ? X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?1 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1) uh+1 · Y l?1 j=h+1 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.10) A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae 1 p ul l X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ) uj E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea I(p1, 0, . . . , 0) = Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. Ec ?aaainoaa (x1x2 . . . xr1 ) p1 = z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 ?z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 (1?zx1x2 . . . xr1 ) neaaoao I(p1, 0, . . . , 0) = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 Ql j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 X n1...nl?11 z n1?1 1 (n1 + p1 ? 1)u1n u2 1 Y l?1 j=2 1 n uj+1 j , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45 Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei- ?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4) oaia?u iieiinou? aieacaii. Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo- oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu- aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou P~s(z) ia i?aainoiayo max X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 , 1 ! . Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl j=1 pj 6 l · P. Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl). Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a. (l1, k1) (l2, k2) ? l1 l2 eee l1 = l2 e k1 k2. Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi- ia ?aaia z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj 0 (a cia?eo e P 0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa (iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu, iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph 0 i?e h 1). ?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh = 1 (nh?1 + ph?1) uh?1+uh , o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t (z) a a? ?acei?aiee ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2P l?1 , a iauee ciaiaiaoaeu eiyo Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2 · · · nm 1} ?e(s1, s2, . . . , sm) = X M0 1 n s1 1 · · · n sl l . Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}. 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30 Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai- noai aey ?yaia X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X Nl 1 n s1 1 · · · n sl l ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sl , sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l . Neaaiaaoaeuii, ?e(s1, s2, . . . , sm) = X l?1 k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)l?1 X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X l k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)lX Ml 1 n s1 1 · · · n sl l , ?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae X Mm?1 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sm, sm?1, . . . , s1). Oai?aia aieacaia. Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao- aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2]. Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii. Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj i=1 si e iiiai?eaiu Q0 = 1, Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk(1). 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31 Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2 Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk(z) = Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk j=1(1 ? zx1 . . . xrj ) . A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5. ?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia I? = 1, Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk , ? 0. Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk (0) = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7. Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1). Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = Z [0,1]rk ? ln(1 ? Qk) Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk+1 dx0dx1 · · · dxrk 1 ? x0Qk Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi- aeiinou eioaa?aea Z [0,1]rk ln(1 ? Qk)(1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk . 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32 i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa- aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk ) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua neaaaaiua) 1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1 ? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1 . . . ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1 ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii. Aaaaai ??(s1, s2, . . . , sl) = X n1n2···nl1 1 (n1 + ?) s1 · · ·(nl + ?) sl , aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony i?e ? 0. Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk (?) = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11) Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk )). Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk ). ?acei?ei a iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei- oaa?e?iaaiey 0 Qk 1) Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk X ? n=0 (1 ? Qk) n+? dx1 · · · dxrk 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33 = X ? n=0 Z [0,1]rk (x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q 0 ))n+? dx1 · · · dxrk . Oae eae (1?Qk) n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a- ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V, § 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea X ? n=0 an = Z ? 0 f(t) dt, aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2, . . . , xs1 . Is1,s2,...,sk (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 Z [0,1]rk?s1 1 ? (1 ? Q0 ) n+? Q0 dxs1+1 · · · dxrk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 Is2,s3,...,sk (n + ?). (2.12) Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey k = 1 Is1 (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 = ??(s1). I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk (n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai Is1,s2,...,sk (?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 X k?1 j=1 (?1)j?1 ?n+?(sj+1, sj , . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X k?1 j=1 (?1)j?1 ??(sj+1, sj , . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk , 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34 ?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio. Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1) = X k j=1 (?1)j?1X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei ? = 0 d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = X k j=1 (?1)j?1 d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia ??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1), a ec ii?aaaeaiey ??(sj , sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0 neaaoao, ?oi d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 = ? X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1). Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu. Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e k = 2, ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1) = s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1). A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou i?aao? ?anou aey e?auo k. Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai ?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1). 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35 Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee f?(x) = X ? k=0 (?1)k ??({s}k)x k = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5. I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu- coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei X ? k=1 ?e({2, {1}s?2}k, 1)x k = g(x) d d? [f?(x)]?=0 = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 d d? Y ? j=1
1 ? x (j + ?) s # ?=0 = X ? j=1 1 1 ? x j s sx j s+1 = X ? k=1 s?(sk + 1)x k . 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa- cia?aiee E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a- coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a- ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa. N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?- uea iii?anoaa B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36 Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu. Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s), ~s ? Bw( ~s0) . Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16. Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae X ? w=0 dwx w = 1 1 ? w2 ? w3 . Oae eae ?({2}k) = ? 2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa ?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao. Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa- eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai- aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?, anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e ?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei- iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe e?aoiuo acaoa-cia?aiee. Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi , i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . , yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi , ?oi 1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37 Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1, B1 e C1i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi A1 + B1x + X k?1 i=1 C1ixyi = 0. Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0, oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau, ?oi A2 + B2x + X 16i6k,i6=p C2ixyi = 0. Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia ?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0) (B1A2 ? B2A1)x + X k i=1 (C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0. Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi , i?e- ?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi . Eaiia aieacaia. Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l ?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k). Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a- ?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana, i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi , ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene- iu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38 Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi dimQ(Q ? M ~s?B3?···?B2l+5 Q?(~s)) l + 2. Oae?a, i?aaeaii, dimQ(Q ? M ~s?B2?···?B2l Q?(~s)) l + 1. Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia ~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}, ?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 = {(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}. Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39 Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao- ?e?aneiai eioaa?aea Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 (1 ? zx1x2 . . . xm) a0 dx1dx2 . . . dxm i?e iaoo?aeuiuo ai , bi a aeaa Pm s=0 Ps(z ?1 ) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia- uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a- oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie. A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa Z [0,1]3 x n 1 (1 ? x1) nx n 2 (1 ? x2) nx n 3 (1 ? x3) n (1 ? zx1x2) n+1(1 ? zx1x2x3) n+1 dx1dx2dx3 (3.1) = P2,1(z ?1 ) Le2,1(z) + P1,1(z ?1 ) Le1,1(z) + P1(z ?1 ) Le1(z) + P?(z ?1 ) e Z [0,1]2l Q2l i=1 x ai?1 i (1 ? xi) n Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l (3.2) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40 = X l k=0 Pk(z ?1 ) Li{2}k (z) +X l?1 k=0 Tk(z ?1 ) Li1,{2}k (z), aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa. A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a- iea eioaa?aea S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 r1 r2 · · · rl = m. a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou- ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi? ~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a v~0 , iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i- ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai eiyooeoeaioia. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie ia- ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z). Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37], [23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei- oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu ~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3]) Le~s(z) = Li~s(z) +X ~t Li~t (z), 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41 aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z). Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?- iie noiiu P ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea aaeinoaaiii. Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x) Q(x) eae I(R) = deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)). Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au- iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj . Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia X n1n2...nl1 R(n1, n2, . . . , nl)z n1?1 (3.3) i?aanoaaeyaony a aeaa X ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), (3.4) aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae? ~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a- aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi ord z=0 P?(z) 1, ord z=0 P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1. Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5) oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42 Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio. Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie- oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1 (x+pj ) uj . Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa- iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo max(l! · (w(~u)2w(~u) ) l?1P l , 1) (3.6) e D w(~u)?w(~s) P P~s(z) ? Z[z]. Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu X n1n2...nl1 z n1?1Y l j=1 1 (nj + pj ) uj , (3.7) i?e?ai min 16j6l pj = p, max 16j6l pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj , m = rl = w(~u). Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea I(p1, p2, . . . , pl) = Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1(1 ? zx1x2 . .
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13.11.2017 в 17:09
ыв
нейтральный
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2 · · · nm 1} ?e(s1, s2, . . . , sm) = X M0 1 n s1 1 · · · n sl l . Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}. 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30 Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai- noai aey ?yaia X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X Nl 1 n s1 1 · · · n sl l ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sl , sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l . Neaaiaaoaeuii, ?e(s1, s2, . . . , sm) = X l?1 k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)l?1 X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X l k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)lX Ml 1 n s1 1 · · · n sl l , ?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae X Mm?1 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sm, sm?1, . . . , s1). Oai?aia aieacaia. Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao- aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2]. Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii. Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj i=1 si e iiiai?eaiu Q0 = 1, Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk(1). 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31 Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2 Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk(z) = Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk j=1(1 ? zx1 . . . xrj ) . A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5. ?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia I? = 1, Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk , ? 0. Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk (0) = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7. Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1). Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = Z [0,1]rk ? ln(1 ? Qk) Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk+1 dx0dx1 · · · dxrk 1 ? x0Qk Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi- aeiinou eioaa?aea Z [0,1]rk ln(1 ? Qk)(1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk . 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32 i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa- aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk ) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua neaaaaiua) 1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1 ? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1 . . . ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1 ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii. Aaaaai ??(s1, s2, . . . , sl) = X n1n2···nl1 1 (n1 + ?) s1 · · ·(nl + ?) sl , aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony i?e ? 0. Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk (?) = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11) Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk )). Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk ). ?acei?ei a iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei- oaa?e?iaaiey 0 Qk 1) Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk X ? n=0 (1 ? Qk) n+? dx1 · · · dxrk 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33 = X ? n=0 Z [0,1]rk (x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q 0 ))n+? dx1 · · · dxrk . Oae eae (1?Qk) n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a- ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V, § 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea X ? n=0 an = Z ? 0 f(t) dt, aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2, . . . , xs1 . Is1,s2,...,sk (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 Z [0,1]rk?s1 1 ? (1 ? Q0 ) n+? Q0 dxs1+1 · · · dxrk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 Is2,s3,...,sk (n + ?). (2.12) Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey k = 1 Is1 (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 = ??(s1). I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk (n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai Is1,s2,...,sk (?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 X k?1 j=1 (?1)j?1 ?n+?(sj+1, sj , . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X k?1 j=1 (?1)j?1 ??(sj+1, sj , . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk , 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34 ?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio. Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1) = X k j=1 (?1)j?1X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei ? = 0 d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = X k j=1 (?1)j?1 d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia ??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1), a ec ii?aaaeaiey ??(sj , sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0 neaaoao, ?oi d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 = ? X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1). Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu. Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e k = 2, ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1) = s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1). A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou i?aao? ?anou aey e?auo k. Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai ?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1). 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35 Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee f?(x) = X ? k=0 (?1)k ??({s}k)x k = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5. I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu- coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei X ? k=1 ?e({2, {1}s?2}k, 1)x k = g(x) d d? [f?(x)]?=0 = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 d d? Y ? j=1
1 ? x (j + ?) s # ?=0 = X ? j=1 1 1 ? x j s sx j s+1 = X ? k=1 s?(sk + 1)x k . 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa- cia?aiee E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a- coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a- ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa. N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?- uea iii?anoaa B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36 Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu. Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s), ~s ? Bw( ~s0) . Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16. Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae X ? w=0 dwx w = 1 1 ? w2 ? w3 . Oae eae ?({2}k) = ? 2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa ?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao. Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa- eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai- aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?, anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e ?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei- iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe e?aoiuo acaoa-cia?aiee. Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi , i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . , yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi , ?oi 1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37 Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1, B1 e C1i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi A1 + B1x + X k?1 i=1 C1ixyi = 0. Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0, oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau, ?oi A2 + B2x + X 16i6k,i6=p C2ixyi = 0. Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia ?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0) (B1A2 ? B2A1)x + X k i=1 (C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0. Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi , i?e- ?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi . Eaiia aieacaia. Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l ?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k). Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a- ?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana, i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi , ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene- iu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38 Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi dimQ(Q ? M ~s?B3?···?B2l+5 Q?(~s)) l + 2. Oae?a, i?aaeaii, dimQ(Q ? M ~s?B2?···?B2l Q?(~s)) l + 1. Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia ~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}, ?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 = {(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}. Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39 Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao- ?e?aneiai eioaa?aea Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 (1 ? zx1x2 . . . xm) a0 dx1dx2 . . . dxm i?e iaoo?aeuiuo ai , bi a aeaa Pm s=0 Ps(z ?1 ) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia- uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a- oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie. A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa Z [0,1]3 x n 1 (1 ? x1) nx n 2 (1 ? x2) nx n 3 (1 ? x3) n (1 ? zx1x2) n+1(1 ? zx1x2x3) n+1 dx1dx2dx3 (3.1) = P2,1(z ?1 ) Le2,1(z) + P1,1(z ?1 ) Le1,1(z) + P1(z ?1 ) Le1(z) + P?(z ?1 ) e Z [0,1]2l Q2l i=1 x ai?1 i (1 ? xi) n Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l (3.2) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40 = X l k=0 Pk(z ?1 ) Li{2}k (z) +X l?1 k=0 Tk(z ?1 ) Li1,{2}k (z), aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa. A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a- iea eioaa?aea S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 r1 r2 · · · rl = m. a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou- ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi? ~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a v~0 , iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i- ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai eiyooeoeaioia. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie ia- ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z). Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37], [23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei- oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu ~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3]) Le~s(z) = Li~s(z) +X ~t Li~t (z), 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41 aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z). Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?- iie noiiu P ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea aaeinoaaiii. Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x) Q(x) eae I(R) = deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)). Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au- iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj . Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia X n1n2...nl1 R(n1, n2, . . . , nl)z n1?1 (3.3) i?aanoaaeyaony a aeaa X ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), (3.4) aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae? ~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a- aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi ord z=0 P?(z) 1, ord z=0 P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1. Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5) oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42 Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio. Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie- oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1 (x+pj ) uj . Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa- iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo max(l! · (w(~u)2w(~u) ) l?1P l , 1) (3.6) e D w(~u)?w(~s) P P~s(z) ? Z[z]. Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu X n1n2...nl1 z n1?1Y l j=1 1 (nj + pj ) uj , (3.7) i?e?ai min 16j6l pj = p, max 16j6l pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj , m = rl = w(~u). Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea I(p1, p2, . . . , pl) = Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj . I?e yoii iiea?ai oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec ?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa- ?eoiia. Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . , 0) = z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). ?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa x1x2 . . . xrl = 1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl ) z neaaoao, ?oi I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43 ?z ?1 Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj?1 Ql?1 j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . , xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1 I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) ? z ?1 · 1 p ul l · X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ? 1)uj . Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa- iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii n?eoaou p = min 16j6l pj = 0. Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 +(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph (1 ? zx1x2 . . . xrh?1 ) ?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 (1 ? zx1x2 . . . xrh ), ec eioi?iai neaaoao I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) + Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1 j6=h?1 (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm ? Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) p 0 j Ql j=1 j6=h (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm, aaa p 0 j = pj i?e j 6= h e p 0 h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi ?aaainoai eae I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44 + X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.9) ? X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?1 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1) uh+1 · Y l?1 j=h+1 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.10) A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae 1 p ul l X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ) uj E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea I(p1, 0, . . . , 0) = Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. Ec ?aaainoaa (x1x2 . . . xr1 ) p1 = z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 ?z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 (1?zx1x2 . . . xr1 ) neaaoao I(p1, 0, . . . , 0) = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 Ql j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 X n1...nl?11 z n1?1 1 (n1 + p1 ? 1)u1n u2 1 Y l?1 j=2 1 n uj+1 j , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45 Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei- ?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4) oaia?u iieiinou? aieacaii. Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo- oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu- aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou P~s(z) ia i?aainoiayo max X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 , 1 ! . Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl j=1 pj 6 l · P. Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl). Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a. (l1, k1) (l2, k2) ? l1 l2 eee l1 = l2 e k1 k2. Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi- ia ?aaia z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj 0 (a cia?eo e P 0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa (iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu, iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph 0 i?e h 1). ?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh = 1 (nh?1 + ph?1) uh?1+uh , o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t (z) a a? ?acei?aiee ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2P l?1 , a iauee ciaiaiaoaeu eiyo
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13.11.2017 в 10:29
jyhg
нейтральный
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2 · · · nm 1} ?e(s1, s2, . . . , sm) = X M0 1 n s1 1 · · · n sl l . Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}. 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30 Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai- noai aey ?yaia X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X Nl 1 n s1 1 · · · n sl l ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sl , sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l . Neaaiaaoaeuii, ?e(s1, s2, . . . , sm) = X l?1 k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)l?1 X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X l k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)lX Ml 1 n s1 1 · · · n sl l , ?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae X Mm?1 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sm, sm?1, . . . , s1). Oai?aia aieacaia. Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao- aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2]. Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii. Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj i=1 si e iiiai?eaiu Q0 = 1, Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk(1). 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31 Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2 Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk(z) = Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk j=1(1 ? zx1 . . . xrj ) . A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5. ?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia I? = 1, Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk , ? 0. Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk (0) = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7. Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1). Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = Z [0,1]rk ? ln(1 ? Qk) Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk+1 dx0dx1 · · · dxrk 1 ? x0Qk Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi- aeiinou eioaa?aea Z [0,1]rk ln(1 ? Qk)(1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk . 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32 i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa- aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk ) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua neaaaaiua) 1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1 ? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1 . . . ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1 ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii. Aaaaai ??(s1, s2, . . . , sl) = X n1n2···nl1 1 (n1 + ?) s1 · · ·(nl + ?) sl , aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony i?e ? 0. Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk (?) = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11) Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk )). Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk ). ?acei?ei a iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei- oaa?e?iaaiey 0 Qk 1) Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk X ? n=0 (1 ? Qk) n+? dx1 · · · dxrk 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33 = X ? n=0 Z [0,1]rk (x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q 0 ))n+? dx1 · · · dxrk . Oae eae (1?Qk) n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a- ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V, § 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea X ? n=0 an = Z ? 0 f(t) dt, aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2, . . . , xs1 . Is1,s2,...,sk (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 Z [0,1]rk?s1 1 ? (1 ? Q0 ) n+? Q0 dxs1+1 · · · dxrk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 Is2,s3,...,sk (n + ?). (2.12) Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey k = 1 Is1 (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 = ??(s1). I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk (n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai Is1,s2,...,sk (?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 X k?1 j=1 (?1)j?1 ?n+?(sj+1, sj , . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X k?1 j=1 (?1)j?1 ??(sj+1, sj , . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk , 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34 ?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio. Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1) = X k j=1 (?1)j?1X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei ? = 0 d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = X k j=1 (?1)j?1 d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia ??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1), a ec ii?aaaeaiey ??(sj , sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0 neaaoao, ?oi d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 = ? X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1). Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu. Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e k = 2, ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1) = s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1). A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou i?aao? ?anou aey e?auo k. Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai ?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1). 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35 Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee f?(x) = X ? k=0 (?1)k ??({s}k)x k = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5. I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu- coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei X ? k=1 ?e({2, {1}s?2}k, 1)x k = g(x) d d? [f?(x)]?=0 = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 d d? Y ? j=1
1 ? x (j + ?) s # ?=0 = X ? j=1 1 1 ? x j s sx j s+1 = X ? k=1 s?(sk + 1)x k . 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa- cia?aiee E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a- coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a- ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa. N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?- uea iii?anoaa B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36 Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu. Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s), ~s ? Bw( ~s0) . Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16. Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae X ? w=0 dwx w = 1 1 ? w2 ? w3 . Oae eae ?({2}k) = ? 2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa ?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao. Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa- eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai- aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?, anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e ?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei- iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe e?aoiuo acaoa-cia?aiee. Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi , i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . , yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi , ?oi 1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37 Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1, B1 e C1i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi A1 + B1x + X k?1 i=1 C1ixyi = 0. Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0, oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau, ?oi A2 + B2x + X 16i6k,i6=p C2ixyi = 0. Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia ?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0) (B1A2 ? B2A1)x + X k i=1 (C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0. Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi , i?e- ?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi . Eaiia aieacaia. Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l ?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k). Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a- ?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana, i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi , ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene- iu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38 Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi dimQ(Q ? M ~s?B3?···?B2l+5 Q?(~s)) l + 2. Oae?a, i?aaeaii, dimQ(Q ? M ~s?B2?···?B2l Q?(~s)) l + 1. Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia ~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}, ?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 = {(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}. Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39 Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao- ?e?aneiai eioaa?aea Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 (1 ? zx1x2 . . . xm) a0 dx1dx2 . . . dxm i?e iaoo?aeuiuo ai , bi a aeaa Pm s=0 Ps(z ?1 ) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia- uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a- oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie. A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa Z [0,1]3 x n 1 (1 ? x1) nx n 2 (1 ? x2) nx n 3 (1 ? x3) n (1 ? zx1x2) n+1(1 ? zx1x2x3) n+1 dx1dx2dx3 (3.1) = P2,1(z ?1 ) Le2,1(z) + P1,1(z ?1 ) Le1,1(z) + P1(z ?1 ) Le1(z) + P?(z ?1 ) e Z [0,1]2l Q2l i=1 x ai?1 i (1 ? xi) n Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l (3.2) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40 = X l k=0 Pk(z ?1 ) Li{2}k (z) +X l?1 k=0 Tk(z ?1 ) Li1,{2}k (z), aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa. A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a- iea eioaa?aea S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 r1 r2 · · · rl = m. a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou- ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi? ~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a v~0 , iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i- ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai eiyooeoeaioia. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie ia- ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z). Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37], [23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei- oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu ~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3]) Le~s(z) = Li~s(z) +X ~t Li~t (z), 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41 aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z). Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?- iie noiiu P ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea aaeinoaaiii. Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x) Q(x) eae I(R) = deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)). Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au- iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj . Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia X n1n2...nl1 R(n1, n2, . . . , nl)z n1?1 (3.3) i?aanoaaeyaony a aeaa X ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), (3.4) aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae? ~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a- aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi ord z=0 P?(z) 1, ord z=0 P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1. Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5) oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42 Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio. Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie- oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1 (x+pj ) uj . Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa- iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo max(l! · (w(~u)2w(~u) ) l?1P l , 1) (3.6) e D w(~u)?w(~s) P P~s(z) ? Z[z]. Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu X n1n2...nl1 z n1?1Y l j=1 1 (nj + pj ) uj , (3.7) i?e?ai min 16j6l pj = p, max 16j6l pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj , m = rl = w(~u). Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea I(p1, p2, . . . , pl) = Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj . I?e yoii iiea?ai oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec ?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa- ?eoiia. Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . , 0) = z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). ?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa x1x2 . . . xrl = 1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl ) z neaaoao, ?oi I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43 ?z ?1 Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj?1 Ql?1 j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . , xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1 I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) ? z ?1 · 1 p ul l · X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ? 1)uj . Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa- iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii n?eoaou p = min 16j6l pj = 0. Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 +(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph (1 ? zx1x2 . . . xrh?1 ) ?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 (1 ? zx1x2 . . . xrh ), ec eioi?iai neaaoao I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) + Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1 j6=h?1 (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm ? Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) p 0 j Ql j=1 j6=h (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm, aaa p 0 j = pj i?e j 6= h e p 0 h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi ?aaainoai eae I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44 + X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.9) ? X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?1 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1) uh+1 · Y l?1 j=h+1 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.10) A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae 1 p ul l X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ) uj E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea I(p1, 0, . . . , 0) = Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. Ec ?aaainoaa (x1x2 . . . xr1 ) p1 = z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 ?z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 (1?zx1x2 . . . xr1 ) neaaoao I(p1, 0, . . . , 0) = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 Ql j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 X n1...nl?11 z n1?1 1 (n1 + p1 ? 1)u1n u2 1 Y l?1 j=2 1 n uj+1 j , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45 Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei- ?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4) oaia?u iieiinou? aieacaii. Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo- oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu- aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou P~s(z) ia i?aainoiayo max X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 , 1 ! . Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl j=1 pj 6 l · P. Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl). Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a. (l1, k1) (l2, k2) ? l1 l2 eee l1 = l2 e k1 k2. Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi- ia ?aaia z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj 0 (a cia?eo e P 0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa (iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu, iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph 0 i?e h 1). ?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh = 1 (nh?1 + ph?1) uh?1+uh , o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t (z) a a? ?acei?aiee ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2P l?1 , a iauee ciaiaiaoaeu eiyo
1001робот
10.11.2017 в 01:27
Дмитрий
отрицательный
Сегодня заказал Самсунг, перезвонил сотрудник магазина и начал с того, что уже 6 лет работает с роботами и мой Самсунг очень неудачная версия. Вообщем развод начался с того, что стал предлагать другую модель - Ашимо.
За что цепляют:
1. Самсунг предлагают в два раза дешевле 2. Говорят, что реклама в интернете вся покупная, а на самом деле все по-другому 3. Готовы очень долго говорить по телефону, чтобы убедить 4. Когда ясно, что покупатель настаивает на своем, просто сливаются
Заподозрил неладное, когда стали путаться с характеристиками роботов, например про Ашимо стали говорить, что заряда хватает на 3 часа, хотя у них же на сайте указаны только 2 часа. Про мой Самсунг стали говорить, что у него нет навигации, хотя у них же в характеристиках она указана. Жулье собачье!
добротный пылесос
08.11.2017 в 12:44
Ирина
положительный
Уже несколько месяцев активно пользуюсь роботом-пылесосом Ashimo Flatlogic 5314.Впервые увидела его в квартире у подруги и наслушавшись от нее восторженных отзывов, захотела приобрести себе такого же помощника.Пылесос действительно стоящий:убирает качественно и шустро,заряда хватает на полноценную уборку трехкомнатной квартиры.Хорошо справляется с кошачьей шерстью,которую мог убрать далеко не каждый пылесос.Нисколько не пожалела о покупке.
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