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С рождением ребенка вопрос о уборке встал остро, как никогда, ведь времени на это нет, поэтому мы с мужем не стали мелочиться и сразу взяли Ashimo Flatlogic 5517, который помимо сухой и влажной влажной уборки также оснащен ультрафиолетовым стерилизатором и фильтром очистки воздуха, разница ощутимая. Работает не шумно, но эффективно, помимо мелкого мусора прекрасно справляется с шерстью и волосами. работает около 3 часов. а потом самостоятельно идет на подзарядку, так-что можно о нем вообще не думать. главное запрограммировать и вовремя очищать.
рр
01.08.2017 в 12:48
ува
положительный
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2 · · · jklklp;l;wqqaw ?e(s1, s2, . . . , sm) = X M0 1 n s1 1 · · · n sl l . Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}. 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30 Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai- noai aey ?yaia X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X Nl 1 n s1 1 · · · n sl l ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sl , sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l . Neaaiaaoaeuii, ?e(s1, s2, . . . , sm) = X l?1 k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)l?1 X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X l k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)lX Ml 1 n s1 1 · · · n wq sl l , ?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae X Mm?1 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sm, sm?1, . . . , s1). Oai?aia aieacaia. Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao- aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2]. Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii. Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj i=1 si e iiiai?eaiu Q0 = 1, Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk(1). 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31 Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk = ?e(s1, s2, . . . , sk). q Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2 Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk(z) = Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk j=1(1 ? zx1 . . . xrj ) . A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5. ?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia I? = 1, Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk , ? 0. Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk (0) = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7. Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1). Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = Z [0,1]rk ? ln(1 ? Qk) Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk+1 dx0dx1 · · · dxrk 1 ? x0Qk Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi- aeiinou eioaa?aea Z [0,1]rk ln(1 ? Qk)(1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk . 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32 i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa- aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk ) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua neaaaaiua) 1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1 ? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1 . . . q ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1 ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii. Aaaaai ??(s1, s2, . . . , sl) = X n1n2···nl1 1 (n1 + ?) s1 · · ·(nl + ?) sl , aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony i?e ? 0. Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk (?) = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11) Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk )). Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk ). ?acei?ei a iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei- oaa?e?iaaiey 0 Qk 1) Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk X ? n=0 (1 ? Qk) n+? dx1 · · · dxrk 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33 = X ? qq n=0 Z [0,1]rk (x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q 0 ))n+? dx1 · · · dxrk . Oae eae (1?Qk) n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a- ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V, § 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea X ? n=0 an = Z ? 0 f(t) dt, aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2, . . . , xs1 . Is1,s2,...,sk (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 Z [0,1]rk?s1 1 ? (1 ? Q0 ) n+? Q0 dxs1+1 · · · dxrk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 Is2,s3,...,sk (n + ?). (2.12) Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey k = 1 Is1 (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 = ??(s1). I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk (n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai Is1,s2,...,sk (?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 X k?1 j=1 (?1)j?1 ?n+?(sj+1, sj , . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X k?1 j=1 (?1)j?1 ??(sj+1, sj , . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk , 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34 ?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio. Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1) = X k j=1 (?1)j?1X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei ? = 0 d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = X k j=1 (?1)j?1 d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia ??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1), a ec ii?aaaeaiey ??(sj , sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0 neaaoao, ?oi d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 = ? X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1). Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu. Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e k = 2, ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1) = s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1). A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou i?aao? ?anou aey e?auo k. Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai ?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1). 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35 Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee f?(x) = X ? k=0 (?1)k ??({s}k)x k = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5. I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu- coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei X ? k=1 ?e({2, {1}s?2}k, 1)x k = g(x) d d? [f?(x)]?=0 = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 d d? Y ? j=1
1 ? x (j + ?) s # ?=0 = X ? j=1 1 1 ? x j s sx j s+1 = X ? k=1 s?(sk + 1)x k . 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa- cia?aiee E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a- coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a- ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa. N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?- uea iii?anoaa B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36 Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu. Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s), ~s ? Bw( ~s0) . Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16. Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae X ? w=0 dwx w = 1 1 ? w2 ? w3 . Oae eae ?({2}k) = ? 2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa ?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao. Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa- eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai- aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?, anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e ?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei- iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe e?aoiuo acaoa-cia?aiee. Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi , i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . , yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi , ?oi 1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37 Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1, B1 e C1i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi A1 + B1x + X k?1 i=1 C1ixyi = 0. Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0, oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau, ?oi A2 + B2x + X 16i6k,i6=p C2ixyi = 0. Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia ?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0) (B1A2 ? B2A1)x + X k i=1 (C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0. Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi , i?e- ?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi . Eaiia aieacaia. Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l ?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k). Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a- ?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana, i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi , ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene- iu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38 Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi dimQ(Q ? M ~s?B3?···?B2l+5 Q?(~s)) l + 2. Oae?a, i?aaeaii, dimQ(Q ? M ~s?B2?···?B2l Q?(~s)) l + 1. Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia ~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}, ?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 = {(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}. Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39 Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao- ?e?aneiai eioaa?aea Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 (1 ? zx1x2 . . . xm) a0 dx1dx2 . . . dxm i?e iaoo?aeuiuo ai , bi a aeaa Pm s=0 Ps(z ?1 ) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia- uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a- oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie. A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa Z [0,1]3 x n 1 (1 ? x1) nx n 2 (1 ? x2) nx n 3 (1 ? x3) n (1 ? zx1x2) n+1(1 ? zx1x2x3) n+1 dx1dx2dx3 (3.1) = P2,1(z ?1 ) Le2,1(z) + P1,1(z ?1 ) Le1,1(z) + P1(z ?1 ) Le1(z) + P?(z ?1 ) e Z [0,1]2l Q2l i=1 x ai?1 i (1 ? xi) n Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l (3.2) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40 = X l k=0 Pk(z ?1 ) Li{2}k (z) +X l?1 k=0 Tk(z ?1 ) Li1,{2}k (z), aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa. A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a- iea eioaa?aea S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 r1 r2 · · · rl = m. a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou- ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi? ~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a v~0 , iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i- ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai eiyooeoeaioia. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie ia- ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z). Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37], [23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei- oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu ~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3]) Le~s(z) = Li~s(z) +X ~t Li~t (z), 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41 aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z). Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?- iie noiiu P ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea aaeinoaaiii. Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x) Q(x) eae I(R) = deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)). Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au- iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj . Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia X n1n2...nl1 R(n1, n2, . . . , nl)z n1?1 (3.3) i?aanoaaeyaony a aeaa X ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), (3.4) aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae? ~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a- aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi ord z=0 P?(z) 1, ord z=0 P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1. Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5) oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42 Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio. Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie- oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1 (x+pj ) uj . Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa- iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo max(l! · (w(~u)2w(~u) ) l?1P l , 1) (3.6) e D w(~u)?w(~s) P P~s(z) ? Z[z]. Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu X n1n2...nl1 z n1?1Y l j=1 1 (nj + pj ) uj , (3.7) i?e?ai min 16j6l pj = p, max 16j6l pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj , m = rl = w(~u). Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea I(p1, p2, . . . , pl) = Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj . I?e yoii iiea?ai oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec ?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa- ?eoiia. Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . , 0) = z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). ?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa x1x2 . . . xrl = 1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl ) z neaaoao, ?oi I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43 ?z ?1 Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj?1 Ql?1 j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . , xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1 I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) ? z ?1 · 1 p ul l · X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ? 1)uj . Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa- iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii n?eoaou p = min 16j6l pj = 0. Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 +(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph (1 ? zx1x2 . . . xrh?1 ) ?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 (1 ? zx1x2 . . . xrh ), ec eioi?iai neaaoao I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) + Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1 j6=h?1 (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm ? Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) p 0 j Ql j=1 j6=h (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm, aaa p 0 j = pj i?e j 6= h e p 0 h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi ?aaainoai eae I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44 + X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.9) ? X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?1 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1) uh+1 · Y l?1 j=h+1 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.10) A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae 1 p ul l X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ) uj E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea I(p1, 0, . . . , 0) = Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. Ec ?aaainoaa (x1x2 . . . xr1 ) p1 = z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 ?z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 (1?zx1x2 . . . xr1 ) neaaoao I(p1, 0, . . . , 0) = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 Ql j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 X n1...nl?11 z n1?1 1 (n1 + p1 ? 1)u1n u2 1 Y l?1 j=2 1 n uj+1 j , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45 Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei- ?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4) oaia?u iieiinou? aieacaii. Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo- oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu- aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou P~s(z) ia i?aainoiayo max X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 , 1 ! . Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl j=1 pj 6 l · P. Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl). Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a. (l1, k1) (l2, k2) ? l1 l2 eee l1 = l2 e k1 k2. Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi- ia ?aaia z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj 0 (a cia?eo e P 0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa (iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu, iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph 0 i?e h 1). ?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh = 1 (nh?1 + ph?1) uh?1+uh , o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t (z) a a? ?acei?aiee ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2P l?1 , a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t (z) aaeeo D m?w(~t) P . Anee ph?1 6= ph, oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh = u X h?1 k=1 Ak (nh?1 + ph?1) k + X uh k=1 Bk (nh?1 + ph) k , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46 Ak = (?1)uh?1?k
uh?1 + uh ? k ? 1 uh?1 ? k
1 (ph ? ph?1) uh?1+uh?k ,Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2 · · · jklklp;l;wqqaw ?e(s1, s2, . . . , sm) = X M0 1 n s1 1 · · · n sl l . Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}. 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30 Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai- noai aey ?yaia X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X Nl 1 n s1 1 · · · n sl l ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sl , sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l . Neaaiaaoaeuii, ?e(s1, s2, . . . , sm) = X l?1 k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)l?1 X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X l k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)lX Ml 1 n s1 1 · · · n wq sl l , ?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae X Mm?1 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sm, sm?1, . . . , s1). Oai?aia aieacaia. Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao- aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2]. Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii. Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj i=1 si e iiiai?eaiu Q0 = 1, Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk(1). 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31 Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk = ?e(s1, s2, . . . , sk). q Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2 Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk(z) = Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk j=1(1 ? zx1 . . . xrj ) . A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5. ?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia I? = 1, Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk , ? 0. Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk (0) = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7. Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1). Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = Z [0,1]rk ? ln(1 ? Qk) Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk+1 dx0dx1 · · · dxrk 1 ? x0Qk Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi- aeiinou eioaa?aea Z [0,1]rk ln(1 ? Qk)(1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk . 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32 i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa- aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk ) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua neaaaaiua) 1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1 ? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1 . . . q ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1 ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii. Aaaaai ??(s1, s2, . . . , sl) = X n1n2···nl1 1 (n1 + ?) s1 · · ·(nl + ?) sl , aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony i?e ? 0. Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk (?) = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11) Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk )). Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk ). ?acei?ei a iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei- oaa?e?iaaiey 0 Qk 1) Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk X ? n=0 (1 ? Qk) n+? dx1 · · · dxrk 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33 = X ? qq n=0 Z [0,1]rk (x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q 0 ))n+? dx1 · · · dxrk . Oae eae (1?Qk) n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a- ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V, § 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea X ? n=0 an = Z ? 0 f(t) dt, aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2, . . . , xs1 . Is1,s2,...,sk (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 Z [0,1]rk?s1 1 ? (1 ? Q0 ) n+? Q0 dxs1+1 · · · dxrk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 Is2,s3,...,sk (n + ?). (2.12) Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey k = 1 Is1 (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 = ??(s1). I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk (n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai Is1,s2,...,sk (?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 X k?1 j=1 (?1)j?1 ?n+?(sj+1, sj , . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X k?1 j=1 (?1)j?1 ??(sj+1, sj , . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk , 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34 ?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio. Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1) = X k j=1 (?1)j?1X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei ? = 0 d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = X k j=1 (?1)j?1 d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia ??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1), a ec ii?aaaeaiey ??(sj , sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0 neaaoao, ?oi d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 = ? X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1). Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu. Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e k = 2, ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1) = s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1). A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou i?aao? ?anou aey e?auo k. Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai ?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1). 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35 Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee f?(x) = X ? k=0 (?1)k ??({s}k)x k = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5. I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu- coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei X ? k=1 ?e({2, {1}s?2}k, 1)x k = g(x) d d? [f?(x)]?=0 = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 d d? Y ? j=1
1 ? x (j + ?) s # ?=0 = X ? j=1 1 1 ? x j s sx j s+1 = X ? k=1 s?(sk + 1)x k . 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa- cia?aiee E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a- coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a- ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa. N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?- uea iii?anoaa B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36 Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu. Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s), ~s ? Bw( ~s0) . Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16. Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae X ? w=0 dwx w = 1 1 ? w2 ? w3 . Oae eae ?({2}k) = ? 2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa ?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao. Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa- eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai- aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?, anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e ?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei- iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe e?aoiuo acaoa-cia?aiee. Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi , i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . , yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi , ?oi 1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37 Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1, B1 e C1i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi A1 + B1x + X k?1 i=1 C1ixyi = 0. Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0, oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau, ?oi A2 + B2x + X 16i6k,i6=p C2ixyi = 0. Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia ?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0) (B1A2 ? B2A1)x + X k i=1 (C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0. Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi , i?e- ?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi . Eaiia aieacaia. Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l ?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k). Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a- ?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana, i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi , ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene- iu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38 Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi dimQ(Q ? M ~s?B3?···?B2l+5 Q?(~s)) l + 2. Oae?a, i?aaeaii, dimQ(Q ? M ~s?B2?···?B2l Q?(~s)) l + 1. Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia ~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}, ?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 = {(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}. Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39 Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao- ?e?aneiai eioaa?aea Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 (1 ? zx1x2 . . . xm) a0 dx1dx2 . . . dxm i?e iaoo?aeuiuo ai , bi a aeaa Pm s=0 Ps(z ?1 ) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia- uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a- oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie. A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa Z [0,1]3 x n 1 (1 ? x1) nx n 2 (1 ? x2) nx n 3 (1 ? x3) n (1 ? zx1x2) n+1(1 ? zx1x2x3) n+1 dx1dx2dx3 (3.1) = P2,1(z ?1 ) Le2,1(z) + P1,1(z ?1 ) Le1,1(z) + P1(z ?1 ) Le1(z) + P?(z ?1 ) e Z [0,1]2l Q2l i=1 x ai?1 i (1 ? xi) n Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l (3.2) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40 = X l k=0 Pk(z ?1 ) Li{2}k (z) +X l?1 k=0 Tk(z ?1 ) Li1,{2}k (z), aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa. A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a- iea eioaa?aea S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 r1 r2 · · · rl = m. a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou- ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi? ~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a v~0 , iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i- ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai eiyooeoeaioia. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie ia- ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z). Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37], [23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei- oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu ~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3]) Le~s(z) = Li~s(z) +X ~t Li~t (z), 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41 aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z). Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?- iie noiiu P ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea aaeinoaaiii. Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x) Q(x) eae I(R) = deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)). Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au- iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj . Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia X n1n2...nl1 R(n1, n2, . . . , nl)z n1?1 (3.3) i?aanoaaeyaony a aeaa X ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), (3.4) aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae? ~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a- aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi ord z=0 P?(z) 1, ord z=0 P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1. Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5) oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42 Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio. Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie- oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1 (x+pj ) uj . Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa- iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo max(l! · (w(~u)2w(~u) ) l?1P l , 1) (3.6) e D w(~u)?w(~s) P P~s(z) ? Z[z]. Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu X n1n2...nl1 z n1?1Y l j=1 1 (nj + pj ) uj , (3.7) i?e?ai min 16j6l pj = p, max 16j6l pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj , m = rl = w(~u). Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea I(p1, p2, . . . , pl) = Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj . I?e yoii iiea?ai oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec ?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa- ?eoiia. Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . , 0) = z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). ?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa x1x2 . . . xrl = 1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl ) z neaaoao, ?oi I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43 ?z ?1 Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj?1 Ql?1 j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . , xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1 I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) ? z ?1 · 1 p ul l · X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ? 1)uj . Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa- iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii n?eoaou p = min 16j6l pj = 0. Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 +(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph (1 ? zx1x2 . . . xrh?1 ) ?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 (1 ? zx1x2 . . . xrh ), ec eioi?iai neaaoao I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) + Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1 j6=h?1 (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm ? Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) p 0 j Ql j=1 j6=h (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm, aaa p 0 j = pj i?e j 6= h e p 0 h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi ?aaainoai eae I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44 + X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.9) ? X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?1 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1) uh+1 · Y l?1 j=h+1 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.10) A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae 1 p ul l X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ) uj E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea I(p1, 0, . . . , 0) = Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. Ec ?aaainoaa (x1x2 . . . xr1 ) p1 = z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 ?z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 (1?zx1x2 . . . xr1 ) neaaoao I(p1, 0, . . . , 0) = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 Ql j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 X n1...nl?11 z n1?1 1 (n1 + p1 ? 1)u1n u2 1 Y l?1 j=2 1 n uj+1 j , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45 Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei- ?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4) oaia?u iieiinou? aieacaii. Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo- oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu- aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou P~s(z) ia i?aainoiayo max X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 , 1 ! . Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl j=1 pj 6 l · P. Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl). Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a. (l1, k1) (l2, k2) ? l1 l2 eee l1 = l2 e k1 k2. Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi- ia ?aaia z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj 0 (a cia?eo e P 0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa (iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu, iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph 0 i?e h 1). ?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh = 1 (nh?1 + ph?1) uh?1+uh , o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t (z) a a? ?acei?aiee ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2P l?1 , a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t (z) aaeeo D m?w(~t) P . Anee ph?1 6= ph, oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh = u X h?1 k=1 Ak (nh?1 + ph?1) k + X uh k=1 Bk (nh?1 + ph) k , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46 Ak = (?1)uh?1?k
uh?1 + uh ? k ? 1 uh?1 ? k
1 (ph ? ph?1) uh?1+uh?k , Bk = (?1)uh?k
uh?1 + uh ? k ? 1 uh ? k Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2 · · · jklklp;l;wqqaw ?e(s1, s2, . . . , sm) = X M0 1 n s1 1 · · · n sl l . Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}. 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30 Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai- noai aey ?yaia X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X Nl 1 n s1 1 · · · n sl l ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sl , sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l . Neaaiaaoaeuii, ?e(s1, s2, . . . , sm) = X l?1 k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)l?1 X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X l k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)lX Ml 1 n s1 1 · · · n wq sl l , ?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae X Mm?1 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sm, sm?1, . . . , s1). Oai?aia aieacaia. Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao- aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2]. Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii. Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj i=1 si e iiiai?eaiu Q0 = 1, Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk(1). 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31 Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk = ?e(s1, s2, . . . , sk). q Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2 Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk(z) = Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk j=1(1 ? zx1 . . . xrj ) . A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5. ?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia I? = 1, Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk , ? 0. Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk (0) = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7. Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1). Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = Z [0,1]rk ? ln(1 ? Qk) Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk+1 dx0dx1 · · · dxrk 1 ? x0Qk Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi- aeiinou eioaa?aea Z [0,1]rk ln(1 ? Qk)(1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk . 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32 i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa- aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk ) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua neaaaaiua) 1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1 ? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1 . . . q ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1 ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii. Aaaaai ??(s1, s2, . . . , sl) = X n1n2···nl1 1 (n1 + ?) s1 · · ·(nl + ?) sl , aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony i?e ? 0. Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk (?) = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11) Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk )). Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk ). ?acei?ei a iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei- oaa?e?iaaiey 0 Qk 1) Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk X ? n=0 (1 ? Qk) n+? dx1 · · · dxrk 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33 = X ? qq n=0 Z [0,1]rk (x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q 0 ))n+? dx1 · · · dxrk . Oae eae (1?Qk) n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a- ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V, § 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea X ? n=0 an = Z ? 0 f(t) dt, aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2, . . . , xs1 . Is1,s2,...,sk (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 Z [0,1]rk?s1 1 ? (1 ? Q0 ) n+? Q0 dxs1+1 · · · dxrk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 Is2,s3,...,sk (n + ?). (2.12) Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey k = 1 Is1 (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 = ??(s1). I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk (n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai Is1,s2,...,sk (?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 X k?1 j=1 (?1)j?1 ?n+?(sj+1, sj , . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X k?1 j=1 (?1)j?1 ??(sj+1, sj , . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk , 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34 ?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio. Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1) = X k j=1 (?1)j?1X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei ? = 0 d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = X k j=1 (?1)j?1 d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia ??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1), a ec ii?aaaeaiey ??(sj , sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0 neaaoao, ?oi d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 = ? X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1). Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu. Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e k = 2, ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1) = s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1). A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou i?aao? ?anou aey e?auo k. Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai ?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1). 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35 Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee f?(x) = X ? k=0 (?1)k ??({s}k)x k = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5. I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu- coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei X ? k=1 ?e({2, {1}s?2}k, 1)x k = g(x) d d? [f?(x)]?=0 = Y ? j=1
1 ? x j s ?1 d d? Y ? j=1
1 ? x (j + ?) s # ?=0 = X ? j=1 1 1 ? x j s sx j s+1 = X ? k=1 s?(sk + 1)x k . 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa- cia?aiee E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a- coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a- ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa. N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?- uea iii?anoaa B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36 Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu. Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s), ~s ? Bw( ~s0) . Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16. Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae X ? w=0 dwx w = 1 1 ? w2 ? w3 . Oae eae ?({2}k) = ? 2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa ?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao. Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa- eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai- aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?, anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e ?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei- iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe e?aoiuo acaoa-cia?aiee. Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi , i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . , yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi , ?oi 1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37 Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1, B1 e C1i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi A1 + B1x + X k?1 i=1 C1ixyi = 0. Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0, oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau, ?oi A2 + B2x + X 16i6k,i6=p C2ixyi = 0. Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia ?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0) (B1A2 ? B2A1)x + X k i=1 (C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0. Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi , i?e- ?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi . Eaiia aieacaia. Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l ?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k). Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a- ?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana, i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi , ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene- iu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38 Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi dimQ(Q ? M ~s?B3?···?B2l+5 Q?(~s)) l + 2. Oae?a, i?aaeaii, dimQ(Q ? M ~s?B2?···?B2l Q?(~s)) l + 1. Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia ~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}, ?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 = {(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}. Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39 Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao- ?e?aneiai eioaa?aea Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 (1 ? zx1x2 . . . xm) a0 dx1dx2 . . . dxm i?e iaoo?aeuiuo ai , bi a aeaa Pm s=0 Ps(z ?1 ) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia- uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a- oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie. A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa Z [0,1]3 x n 1 (1 ? x1) nx n 2 (1 ? x2) nx n 3 (1 ? x3) n (1 ? zx1x2) n+1(1 ? zx1x2x3) n+1 dx1dx2dx3 (3.1) = P2,1(z ?1 ) Le2,1(z) + P1,1(z ?1 ) Le1,1(z) + P1(z ?1 ) Le1(z) + P?(z ?1 ) e Z [0,1]2l Q2l i=1 x ai?1 i (1 ? xi) n Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l (3.2) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40 = X l k=0 Pk(z ?1 ) Li{2}k (z) +X l?1 k=0 Tk(z ?1 ) Li1,{2}k (z), aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa. A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a- iea eioaa?aea S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 r1 r2 · · · rl = m. a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou- ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi? ~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a v~0 , iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i- ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai eiyooeoeaioia. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie ia- ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z). Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37], [23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei- oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu ~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3]) Le~s(z) = Li~s(z) +X ~t Li~t (z), 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41 aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z). Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?- iie noiiu P ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea aaeinoaaiii. Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x) Q(x) eae I(R) = deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)). Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au- iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj . Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia X n1n2...nl1 R(n1, n2, . . . , nl)z n1?1 (3.3) i?aanoaaeyaony a aeaa X ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), (3.4) aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae? ~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a- aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi ord z=0 P?(z) 1, ord z=0 P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1. Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5) oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42 Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio. Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie- oee R(?1, ?2, . . .
Хорошая модель, чистит идеально!
21.07.2017 в 12:17
Виктория
положительный
Заказывала здесь робот-пылесос фирмы ASHIMO. Выбрала функциональную модель FLATLOGIC 5315. Очень мощная тяга, убирает результативно, пыли нет вообще и чистота в квартире сохраняется дольше, чем раньше. Что самое для меня важное, так это что можно проводить антибактериальную уборку. У меня ребенок аллергик и очистка воздуха очень помогает ему нормально дышать. Пылесос хорошей качественной сборки, убирает во всех отдаленных уголках квартиры, если нужно зарядиться, сам возвращается на базу. Аккумулятор держит зарядку долго, до 180 минут. Доставили мне курьером, все оперативно, без проблем. Я довольна!
Прекрасный помощник
21.07.2017 в 12:09
Анастасия
положительный
Мы долго выбирали и в итоге приобрели себе Ашимо, остались довольны. Пользуемся уже больше месяца ежедневно, на кухне прямо одно удовольствие, правда иногда застревает под столешницей, но выбирается оттуда всегда сам. И шерсть кошачью собирает отлично, её у нас очень много, кошка линяет круглый год! Ходит по квартире сам, сам возвращается на базу, никакой присмотр ему не нужен.
Все супер!
21.07.2017 в 12:09
Алёна
положительный
Купили в данном интернет - магазине робот - пылесос ashimo. Менеджер быстро связался со мной по телефону и одобрил заказ. Доставили покупку уже на следующий день. Все было хорошо и надежно упаковано, при распаковке недостатков не обнаружили. Все целое и невредимое, без царапин, трещин и т.д. Пылесосит очень хорошо, ковры и полы идеально чистые. Покупке довольны!
Робот-пылесос
21.07.2017 в 12:01
артем
положительный
Робот-пылесос отличается действительно качеством сборки. Также хочется отметить удобство функции автоматической подзарядки, а также сухой и влажной уборки. Ну о чем тут можно говорить, японская техника была всегда на высоком уровне. Я думаю, что в скором времени все население перейдет исключительно на роботизированную технику, потому что это по-настоящему удобно и практично.
Хорошее качество
21.07.2017 в 11:57
Оля
положительный
Покупали здесь робот-пылесос ashimo и остались полностью довольны по сей день. Дом у нас 90 квадратов, без подзарядки он может находиться три часа, поэтому за это время способен полностью убрать пыль и мусор с пола. Пользуемся в основном сухой уборкой, но есть и функция влажной уборки. Сейчас планирую купить такой своей матери на подарок. Качеством товара полностью довольна.
вы
21.07.2017 в 11:48
окс
положительный
Отзыв об интернет-магазине «Ashimo - магазин японских роботов-пылесосов»
Вадим 20отзыв от 26 июняВадим не рекомендует Посмотрите на ютубе ROBOT VACUUM CLEANER QQ6 и вы поймете чей робот Ashimo. А по мошенникам толкающим его как японский уже давно зона плачет. Этот же пылесос называется как QQ6, производство в Китае и продаётся на Ali за 13000 р. Наши продавцы меняют наклейку (на Али тоже предлагают свою наклейку сделать, если им фотку прислать), пишут что их пылесос из Японии и перепродают в три конца 0 Mihail 28 июняMihail Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2 · · · nm 1} ?e(s1, s2, . . . , sm) = X M0 1 n s1 1 · · · n sl l . Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}. 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30 Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai- noai aey ?yaia X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl
l
X Nl 1 n s1 1 · · · n sl l ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sl , sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l . Neaaiaaoaeuii, ?e(s1, s2, . . . , sm) = X l?1 k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)l?1 X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl
l
X l k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)lX Ml 1 n s1 1 · · · n sl l , ?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae X Mm?1 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sm, sm?1, . . . , s1). Oai?aia aieacaia. Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao- aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2]. Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii. Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj i=1 si e iiiai?eaiu Q0 = 1, Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk(1). 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31 Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2 Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm
1 ? x j s ?1 e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5. I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu- coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei X ? k=1 ?e({2, {1}s?2}k, 1)x k = g(x) d
d? [f?(x)]?=0
Y ? j=1
1 ? x j s ?1 d d? Y ? j=1
1 ? x (j + ?) s
?=0
X ? j=1 1 1 ? x j s sx j s+1 = X ? k=1 s?(sk + 1)x k . 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa- cia?aiee E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a- coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a- ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa. N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?- uea iii?anoaa B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36 Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu. Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s), ~s ? Bw( ~s0) . Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16. Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae X ? w=0 dwx w = 1 1 ? w2 ? w3 . Oae eae ?({2}k) = ? 2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa ?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao. Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa- eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai- aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?, anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e ?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei- iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe e?aoiuo acaoa-cia?aiee. Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi , i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . , yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi , ?oi 1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37 Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1, B1 e C1i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi A1 + B1x + X k?1 i=1 C1ixyi = 0. Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0, oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau, ?oi A2 + B2x + X 16i6k,i6=p C2ixyi = 0. Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia ?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0) (B1A2 ? B2A1)x + X k i=1 (C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0. Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi , i?e- ?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi . Eaiia aieacaia. Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l ?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k). Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a- ?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana, i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi , ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene- iu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38 Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi dimQ(Q ? M ~s?B3?···?B2l+5 Q?(~s)) l + 2. Oae?a, i?aaeaii, dimQ(Q ? M ~s?B2?···?B2l Q?(~s)) l + 1. Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia ~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}, ?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 = {(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}. Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39 Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao- ?e?aneiai eioaa?aea Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 (1 ? zx1x2 . . . xm) a0 dx1dx2 . . . dxm i?e iaoo?aeuiuo ai , bi a aeaa Pm s=0 Ps(z ?1 ) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia- uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a- oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie. A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa Z [0,1]3 x n 1 (1 ? x1) nx n 2 (1 ? x2) nx n 3 (1 ? x3) n (1 ? zx1x2) n+1(1 ? zx1x2x3) n+1 dx1dx2dx3 (3.1) = P2,1(z ?1 ) Le2,1(z) + P1,1(z ?1 ) Le1,1(z) + P1(z ?1 ) Le1(z) + P?(z ?1 ) e Z [0,1]2l Q2l i=1 x ai?1 i (1 ? xi) n Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
X l k=0 Pk(z ?1 ) Li{2}k (z) +X l?1 k=0 Tk(z ?1 ) Li1,{2}k (z), aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa. A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a- iea eioaa?aea S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 r1 r2 · · · rl = m. a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou- ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi? ~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a v~0 , iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i- ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai eiyooeoeaioia. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie ia- ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z). Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37], [23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei- oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu ~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3]) Le~s(z) = Li~s(z) +X ~t Li~t (z), 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41 aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z). Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?- iie noiiu P ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea aaeinoaaiii. Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x) Q(x) eae I(R) = deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)). Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au- iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj . Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia X n1n2...nl1 R(n1, n2, . . . , nl)z n1?1 (3.3) i?aanoaaeyaony a aeaa X ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), (3.4) aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae? ~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a- aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi ord z=0 P?(z) 1, ord z=0 P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1. Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5) oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42 Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio. Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie- oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1 (x+pj ) uj . Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa- iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo max(l! · (w(~u)2w(~u) ) l?1P l , 1) (3.6) e D w(~u)?w(~s) P P~s(z) ? Z[z]. Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu X n1n2...nl1 z n1?1Y l j=1 1 (nj + pj ) uj , (3.7) i?e?ai min 16j6l pj = p, max 16j6l pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj , m = rl = w(~u). Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea I(p1, p2, . . . , pl) = Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj . I?e yoii iiea?ai oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec ?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa- ?eoiia. Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . , 0) = z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). ?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa x1x2 . . . xrl = 1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl ) z neaaoao, ?oi I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43 ?z ?1 Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj?1 Ql?1 j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . , xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1 I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) ? z ?1 · 1 p ul l · X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ? 1)uj . Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa- iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii n?eoaou p = min 16j6l pj = 0. Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 +(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph (1 ? zx1x2 . . . xrh?1 ) ?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 (1 ? zx1x2 . . . xrh ), ec eioi?iai neaaoao I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) + Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1 j6=h?1 (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm ? Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) p 0 j Ql j=1 j6=h (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm, aaa p 0 j = pj i?e j 6= h e p 0 h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi ?aaainoai eae I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44 + X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.9) ? X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?1 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1) uh+1 · Y l?1 j=h+1 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.10) A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae 1 p ul l X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ) uj E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea I(p1, 0, . . . , 0) = Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. Ec ?aaainoaa (x1x2 . . . xr1 ) p1 = z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 ?z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 (1?zx1x2 . . . xr1 ) neaaoao I(p1, 0, . . . , 0) = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 Ql j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 X n1...nl?11 z n1?1 1 (n1 + p1 ? 1)u1n u2 1 Y l?1 j=2 1 n uj+1 j , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45 Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei- ?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4) oaia?u iieiinou? aieacaii. Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo- oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu- aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou P~s(z) ia i?aainoiayo max X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 , 1 ! . Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl j=1 pj 6 l · P. Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl). Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a. (l1, k1) (l2, k2) ? l1 l2 eee l1 = l2 e k1 k2. Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi- ia ?aaia z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj 0 (a cia?eo e P 0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa (iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu, iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph 0 i?e h 1). ?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph)
uh
1 (nh?1 + ph?1) uh?1+uh , o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t (z) a a? ?acei?aiee ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2P l?1 , a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t (z) aaeeo D m?w(~t) P . Anee ph?1 6= ph, oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph)
uh
u X h?1 k=1 Ak (nh?1 + ph?1) k + X uh k=1 Bk (nh?1 + ph) k , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46 Ak = (?1)uh?1?k
uh?1 + uh ? k ? 1 uh?1 ? k
1 (ph ? ph?1) uh?1+uh?k , Bk = (?1)uh?k
uh?1 + uh ? k ? 1 uh ? k
1 (ph?1 ? ph) uh?1+uh?k . Iianoaaeyy yoi ?aaainoai a (3.9), iu i?aanoaaei (3.9) a aeaa noiiu uh?1+ uh yeaiaioa?iuo noii (n eiyooeoeaioaie Ak e Bk), e ea?aie ec eioi?uo ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. ?anniio?ei eaeo?-oi iaio ec ieo X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj · 1 (nh?1 + ph?1) k · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 . Ae niioaaonoao?o neaao?uea ia?aiao?u l 0 = l ? 1, m 0 = m + k ? uh?1 ? uh, ~p0 = (p1, . . . , ph?2, ph?1, ph+1, . . . , pl). Anee P~t (z) iiiai?eaiu ?acei?aiey a eeiaeio? oi?io io iaiauai- iuo iieeeiaa?eoiia, oi iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t (z) aaeeo D m0?w(~t) P . Oae eae D uh?1+uh?k P Ak ? Z, oi D m?w(~t) P (Ak · P~t (z)) ? Z[z], ?oi e o?aaoaony. Auniou P~t (z) ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 . Neaaiaaoaeuii, auniou iiiai?eaiia a ?acei?aiee noiiu (3.9) ia i?aain- oiayo u X h?1 k=1 Ak + X uh k=1 Bk ! · (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6 u X h?1 k=1
uh?1 + uh ? k ? 1 uh?1 ? k
X uh k=1 uh?1 + uh ? k ? 1 uh ? k ! ? (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6(uh?1 + uh)2uh?1+uh?2 · (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6m2 m?2 · (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6 1 2 · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 . 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 47 Noiia (3.10) ?anniao?eaaaony aiaeiae?ii, a e eioaa?aeo I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. Aey anao o?ao neaaaaiuo (3.8), (3.9), (3.10) a eeiaeiie oi?ia (3.4) ciaiaiaoaee eiyooe- oeaioia iiiai?eaia i?e Le~t (z) aaeyo D m?w(~t) P . Auniou iiiai?eaiia P~s(z) enoiaiie noiiu a neo?aa Pl j=1 pj 1 ia i?aainoiayo X l j=1 pj ? 1 ! · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 + 2 · 1 2 · (l ? 1)! · (m2 mP)
l?1
X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 . A neo?aa Pl j=1 pj = 1, aaeoi?a iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia ec ?acei- ?aiey noii (3.9) e (3.10) eia?o aeeio iaiuoa l, a a ?acei?aiee I({0}l) oieuei iaei iieeeiaa?eoi aeeiu l, o.a. iii?anoaa iieeeiaa?eoiia ia ia- ?anaea?ony e ioaiea ia auniou a yoii neo?aa oae?a ni?aaaaeeaa. Eaiia oaia?u iieiinou? aieacaia. Caia?aiea. Ii?ii auei au aieacuaaou i?aanoaaeaiea (3.4) aac ai- iieieoaeuiiai i?aaiiei?aiey i oii, ?oi oai?aia 3.1 aa?ia aey ooieoee R, caaenyueo io iaiaa ?ai l ia?aiaiiuo, ii oie ?a noaia, eae iu aiea- cuaaee ooaa??aaiea i aunioao e a?eoiaoe?aneeo naienoaao eiyooeoeai- oia iiiai?eaiia. Iaiaei aeaaiaa?y yoiio i?aaiiei?aie?, ooaa??aaiea i oii, ?oi a neo?aa u1 2 auiieiyaony ?aaainoai P~s(1) = 0 i?e s1 = 1 aieacuaaaony aaoiiaoe?anee. Iaciaai ?-noiiie au?a?aiea X ? n1=1 z n1?1R1(n1) n X 1+?1 n2=1 R2(n2)· · · nl?X 1+?l?1 nl=1 Rl(nl), aaa ?j oaeua iaio?eoaoaeuiua ?enea, iie?na Rj ea?ao ia io?acea [?Pj , ?pj ] e yaey?ony oaeuie ?eneaie e aey e?aiai j = 1, . . . , l auiie- iyaony I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rl) + j 6 0. Eaiia 3.3 E?aay ?-noiia F i?aanoaaeyaony a aeaa eiia?ii
рл
20.07.2017 в 13:10
уке
положительный
28 июняMihail Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2 · · · nm 1} ?e(s1, s2, . . . , sm) = X M0 1 n s1 1 · · · n sl l . Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}. 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30 Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai- noai aey ?yaia X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl
l
X Nl 1 n s1 1 · · · n sl l ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sl , sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l . Neaaiaaoaeuii, ?e(s1, s2, . . . , sm) = X l?1 k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)l?1 X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl
l
X l k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)lX Ml 1 n s1 1 · · · n sl l , ?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae X Mm?1 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sm, sm?1, . . . , s1). Oai?aia aieacaia. Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao- aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2]. Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii. Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj i=1 si e iiiai?eaiu Q0 = 1, Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk(1). 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31 Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2 Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm
1 ? x j s ?1 e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5. I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu- coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei X ? k=1 ?e({2, {1}s?2}k, 1)x k = g(x) d
d? [f?(x)]?=0
Y ? j=1
1 ? x j s ?1 d d? Y ? j=1
1 ? x (j + ?) s
?=0
X ? j=1 1 1 ? x j s sx j s+1 = X ? k=1 s?(sk + 1)x k . 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa- cia?aiee E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a- coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a- ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa. N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?- uea iii?anoaa B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36 Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu. Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s), ~s ? Bw( ~s0) . Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16. Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae X ? w=0 dwx w = 1 1 ? w2 ? w3 . Oae eae ?({2}k) = ? 2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa ?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao. Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa- eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai- aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?, anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e ?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei- iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe e?aoiuo acaoa-cia?aiee. Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi , i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . , yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi , ?oi 1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37 Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1, B1 e C1i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi A1 + B1x + X k?1 i=1 C1ixyi = 0. Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0, oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau, ?oi A2 + B2x + X 16i6k,i6=p C2ixyi = 0. Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia ?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0) (B1A2 ? B2A1)x + X k i=1 (C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0. Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi , i?e- ?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi . Eaiia aieacaia. Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l ?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k). Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a- ?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana, i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi , ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene- iu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38 Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi dimQ(Q ? M ~s?B3?···?B2l+5 Q?(~s)) l + 2. Oae?a, i?aaeaii, dimQ(Q ? M ~s?B2?···?B2l Q?(~s)) l + 1. Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia ~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}, ?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 = {(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}. Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39 Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao- ?e?aneiai eioaa?aea Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 (1 ? zx1x2 . . . xm) a0 dx1dx2 . . . dxm i?e iaoo?aeuiuo ai , bi a aeaa Pm s=0 Ps(z ?1 ) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia- uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a- oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie. A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa Z [0,1]3 x n 1 (1 ? x1) nx n 2 (1 ? x2) nx n 3 (1 ? x3) n (1 ? zx1x2) n+1(1 ? zx1x2x3) n+1 dx1dx2dx3 (3.1) = P2,1(z ?1 ) Le2,1(z) + P1,1(z ?1 ) Le1,1(z) + P1(z ?1 ) Le1(z) + P?(z ?1 ) e Z [0,1]2l Q2l i=1 x ai?1 i (1 ? xi) n Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l (3.2)
3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40
X l k=0 Pk(z ?1 ) Li{2}k (z) +X l?1 k=0 Tk(z ?1 ) Li1,{2}k (z), aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa. A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a- iea eioaa?aea S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 r1 r2 · · · rl = m. a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou- ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi? ~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a v~0 , iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i- ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai eiyooeoeaioia. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie ia- ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z). Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37], [23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei- oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu ~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3]) Le~s(z) = Li~s(z) +X ~t Li~t (z), 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41 aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z). Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?- iie noiiu P ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea aaeinoaaiii. Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x) Q(x) eae I(R) = deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)). Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au- iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj . Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia X n1n2...nl1 R(n1, n2, . . . , nl)z n1?1 (3.3) i?aanoaaeyaony a aeaa X ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), (3.4) aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae? ~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a- aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi ord z=0 P?(z) 1, ord z=0 P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1. Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5) oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42 Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio. Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie- oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1 (x+pj ) uj . Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa- iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo max(l! · (w(~u)2w(~u) ) l?1P l , 1) (3.6) e D w(~u)?w(~s) P P~s(z) ? Z[z]. Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu X n1n2...nl1 z n1?1Y l j=1 1 (nj + pj ) uj , (3.7) i?e?ai min 16j6l pj = p, max 16j6l pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj , m = rl = w(~u). Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea I(p1, p2, . . . , pl) = Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj . I?e yoii iiea?ai oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec ?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa- ?eoiia. Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . , 0) = z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). ?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa x1x2 . . . xrl = 1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl ) z neaaoao, ?oi I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43 ?z ?1 Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj?1 Ql?1 j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . , xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1 I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) ? z ?1 · 1 p ul l · X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ? 1)uj . Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa- iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii n?eoaou p = min 16j6l pj = 0. Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 +(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph (1 ? zx1x2 . . . xrh?1 ) ?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 (1 ? zx1x2 . . . xrh ), ec eioi?iai neaaoao I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) + Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1 j6=h?1 (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm ? Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) p 0 j Ql j=1 j6=h (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm, aaa p 0 j = pj i?e j 6= h e p 0 h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi ?aaainoai eae I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44 + X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.9) ? X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?1 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1) uh+1 · Y l?1 j=h+1 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.10) A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae 1 p ul l X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ) uj E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea I(p1, 0, . . . , 0) = Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. Ec ?aaainoaa (x1x2 . . . xr1 ) p1 = z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 ?z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 (1?zx1x2 . . . xr1 ) neaaoao I(p1, 0, . . . , 0) = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 Ql j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 X n1...nl?11 z n1?1 1 (n1 + p1 ? 1)u1n u2 1 Y l?1 j=2 1 n uj+1 j , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45 Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei- ?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4) oaia?u iieiinou? aieacaii. Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo- oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu- aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou P~s(z) ia i?aainoiayo max X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 , 1 ! . Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl j=1 pj 6 l · P. Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl). Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a. (l1, k1) (l2, k2) ? l1 l2 eee l1 = l2 e k1 k2. Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi- ia ?aaia z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj 0 (a cia?eo e P 0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa (iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu, iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph 0 i?e h 1). ?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph)
uh
1 (nh?1 + ph?1) uh?1+uh , o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t (z) a a? ?acei?aiee ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2P l?1 , a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t (z) aaeeo D m?w(~t) P . Anee ph?1 6= ph, oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph)
uh
u X h?1 k=1 Ak (nh?1 + ph?1) k + X uh k=1 Bk (nh?1 + ph) k , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46 Ak = (?1)uh?1?k
uh?1 + uh ? k ? 1 uh?1 ? k
1 (ph ? ph?1) uh?1+uh?k , Bk = (?1)uh?k
uh?1 + uh ? k ? 1 uh ? k
1 (ph?1 ? ph) uh?1+uh?k . Iianoaaeyy yoi ?aaainoai a (3.9), iu i?aanoaaei (3.9) a aeaa noiiu uh?1+ uh yeaiaioa?iuo noii (n eiyooeoeaioaie Ak e Bk), e ea?aie ec eioi?uo ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. ?anniio?ei eaeo?-oi iaio ec ieo X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj · 1 (nh?1 + ph?1) k · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 . Ae niioaaonoao?o neaao?uea ia?aiao?u l 0 = l ? 1, m 0 = m + k ? uh?1 ? uh, ~p0 = (p1, . . . , ph?2, ph?1, ph+1, . . . , pl). Anee P~t (z) iiiai?eaiu ?acei?aiey a eeiaeio? oi?io io iaiauai- iuo iieeeiaa?eoiia, oi iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t (z) aaeeo D m0?w(~t) P . Oae eae D uh?1+uh?k P Ak ? Z, oi D m?w(~t) P (Ak · P~t (z)) ? Z[z], ?oi e o?aaoaony. Auniou P~t (z) ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 . Neaaiaaoaeuii, auniou iiiai?eaiia a ?acei?aiee noiiu (3.9) ia i?aain- oiayo u X h?1 k=1 Ak + X uh k=1 Bk ! · (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6 u X h?1 k=1
uh?1 + uh ? k ? 1 uh?1 ? k
X uh k=1 uh?1 + uh ? k ? 1 uh ? k ! ? (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6(uh?1 + uh)2uh?1+uh?2 · (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6m2 m?2 · (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6 1 2 · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 . 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 47 Noiia (3.10) ?anniao?eaaaony aiaeiae?ii, a e eioaa?aeo I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. Aey anao o?ao neaaaaiuo (3.8), (3.9), (3.10) a eeiaeiie oi?ia (3.4) ciaiaiaoaee eiyooe- oeaioia iiiai?eaia i?e Le~t (z) aaeyo D m?w(~t) P . Auniou iiiai?eaiia P~s(z) enoiaiie noiiu a neo?aa Pl j=1 pj 1 ia i?aainoiayo X l j=1 pj ? 1 ! · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 + 2 · 1 2 · (l ? 1)! · (m2 mP)
l?1
X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 . A neo?aa Pl j=1 pj = 1, aaeoi?a iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia ec ?acei- ?aiey noii (3.9) e (3.10) eia?o aeeio iaiuoa l, a a ?acei?aiee I({0}l) oieuei iaei iieeeiaa?eoi aeeiu l, o.a. iii?anoaa iieeeiaa?eoiia ia ia- ?anaea?ony e ioaiea ia auniou a yoii neo?aa oae?a ni?aaaaeeaa. Eaiia oaia?u iieiinou? aieacaia. Caia?aiea. Ii?ii auei au aieacuaaou i?aanoaaeaiea (3.4) aac ai- iieieoaeuiiai i?aaiiei?aiey i oii, ?oi oai?aia 3.1 aa?ia aey ooieoee R, caaenyueo io iaiaa ?ai l ia?aiaiiuo, ii oie ?a noaia, eae iu aiea- cuaaee ooaa??aaiea i aunioao e a?eoiaoe?aneeo naienoaao eiyooeoeai- oia iiiai?eaiia. Iaiaei aeaaiaa?y yoiio i?aaiiei?aie?, ooaa??aaiea i oii, ?oi a neo?aa u1 2 auiieiyaony ?aaainoai P~s(1) = 0 i?e s1 = 1 aieacuaaaony aaoiiaoe?anee. Iaciaai ?-noiiie au?a?aiea X ? n1=1 z n1?1R1(n1) n X 1+?1 n2=1 R2(n2)· · · nl?X 1+?l?1 nl=1 Rl(nl), aaa ?j oaeua iaio?eoaoaeuiua ?enea, iie?na Rj ea?ao ia io?acea [?Pj , ?pj ] e yaey?ony oaeuie ?eneaie e aey e?aiai j = 1, . . . , l auiie- iyaony I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rl) + j 6 0. Eaiia 3.3 E?aay ?-noiia F i?aanoaaeyaony a aeaa eiia?ii
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Жулики или жулик (представился антоном)
17.05.2017 в 13:48
Кирилл
отрицательный
Билет в один конец... Все телефоны адреса - фейк. Я уже оставлял отзыв на др. сайтах. Я бы назвал деятельность этого магазина мошенничеством. Поняв то что мне прислали не то( хотя очень сильно по телефону убеждали что это именно то - простите за тафтологию) попытка обмена на др. пылесос потерпела неудачу. Пылесосом я до разбирательства я не пользовался..Менеджер сказал - без проблем.... И все. С тех пор на мои звонки никто не отвечает... Интернет магазин оказался липой... Доменное имя около 2 мес существовало (наш коллектив с 2013 и.т.д. и.т.п.) . Телефоны адреса и адрес откуда прислали посылку то же липа... Пробил все по интернету...( куда я раньше смотрел). Итог я получил пылесос уровня 11 тыс за 27 тыс.. С никому неизвестной фирмой Ашимо ... Теперь наслаждаюсь - !!! Пылесос середнячок - 1 мес в эксплуатации- емкость батареи уже упала с 1,5 часов до1 ч. явно не LiON. Перестал заряжаться с базы... Пришлось разобрать - контакт отошёл.. С с заездом на препятствия также справляется средне... застревает... Навигация отсутствует как таковая .... Теперь жду когда закончатся расходники и батарея...
