Каталог интернет магазинов
Обсуждение, отзывы, рейтинги, комментарии об интернет магазинах
ShopAudit - Каталог интернет магазинов
Поиск
я ищу
и     или    целиком
в категории
Каталог интернет магазинов
Все сферы
CD-диски, DVD, кассеты
Автомобили и мотоциклы
Антиквариат, искусство
Аптека
Бытовая техника
Детский мир
Животные и растения
Книги
Компьютеры
Красота и здоровье
Мебель, интерьер
Одежда, обувь, кожгалантерея
Офис
Подарки, сувениры, цветы
Продукты, напитки, табак
Разное
Секс-шопы, интимные товары
Спорт, охота, туризм
Строительство и ремонт
Телефоны и связь
Торговые системы
Услуги
Фототовары
Хозтовары
Часы
Электронные товары

/ Главная / Бытовая техника / Видеотехника

Информация об интернет магазине HDmir



Текущий рейтинг: +26 » Посмотреть весь рейтинг
Отзывов: 32 » Посмотреть отзывы | » Добавить отзыв


Полное название HDmir
Город Видное
Адрес ул. Школьная, 59, 11
Адрес в интернет http://www.hdmir.ru

Помогите нам улучшить качество нашего сайта.
Если по указанному адресу в интернет:
1. Сайт не работает
2. Находится сайт не соотвествующий описанию
пожалуйста, отправьте нам письмо с сообщением об этом (кликните по ссылке).
Спасибо! Вместе мы сделаем этот сайт лучше!
E-Mail info@hdmir.ru
Телефон +7 (499) 553-06-02

Наша компания надежный поставщик видеорегистраторов, мы предлагаем широкий ассортимент товаров в различной ценовой политике и с различными техническими характеристиками. Наша команда на протяжении многих лет занимается поставками видеорегистраторов во все уголки России. Тысячи довольных покупателей уже оценили нашу слаженную работу и отличное состояние товаров. Мы поставляем продукцию напрямую от производителей, работаем без посредников. Для оперативного решения проблем с техникой мы открыли свои сервисные центры по всей России.

Отзывы о hdmir.ru

Страницы:   1 2 3
545 04.05.2017 в 13:13
Написал(а): 2626 положительный
Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ
òî÷êàõ
Íàïîìíèì, ÷òî äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà ζ(s) ïðè Re s > 1 îïðåäåëÿåòñÿ
ñëåäóþùèì ðÿäîì:
ζ(s) = X

n=1
1
ns
.
Îäíà èç ïðîáëåì òåîðèè òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë ñîñòîèò â òîì, ÷òî-
áû èçó÷èòü àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â
öåëûõ òî÷êàõ s > 2, ò.å. âûÿñíèòü, ÿâëÿþòñÿ ýòè ÷èñëà ðàöèîíàëüíûìè
èëè èððàöèîíàëüíûìè, àëãåáðàè÷åñêèìè èëè òðàíñöåíäåíòíûìè, à òàêæå
íàéòè âñå àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íèìè.
Åùå Ýéëåð ïîêàçàë, ÷òî â ÷åòíûõ òî÷êàõ äçåòà-ôóíêöèþ ìîæíî âû-
÷èñëèòü ÿâíî:
ζ(2n) = (−1)n−1
(2π)
2n
2(2n)!B2n,
ãäå B2n  ÷èñëà Áåðíóëëè, óäîâëåòâîðÿþùèå ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ
X
n
k=0

n + 1
k

Bk = 0, n > 1,
è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ B0 = 1.  1882 ã. Ëèíäåìàí äîêàçàë òðàíñöåíäåíò-
íîñòü ÷èñëà π. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íàòóðàëüíîì n ÷èñëî ζ(2n) òðàíñöåí-
1.1 Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ 5
äåíòíî.
Ñèòóàöèÿ ñ ÷èñëàìè ζ(2n+ 1) íàìíîãî áîëåå ñëîæíàÿ. Ïðîáëåìà àðèô-
ìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ýòèõ ÷èñåë ïîäíèìàëàñü åùå â 1934 ã. À.Î. Ãåëüôîíäîì
(ñì. çàêëþ÷åíèå â [4]). Ñóùåñòâóåò
Ãèïîòåçà. Ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n è äëÿ ëþáîãî íåíóëåâîãî ìíîãî÷ëå-
íà P(x0, . . . , xn) ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè âåðíî
P(π, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(2n + 1)) 6= 0.
Î÷åâèäíî, äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ãèïîòåçû ïîëíîñòüþ áû ðåøèëî ïðîáëåìó
àðèôìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ.
 ÷àñòíîñòè, èç ýòîé ãèïîòåçû ñëåäóåò òðàíñöåíäåíòíîñòü ÷èñåë ζ(2n+ 1).
Îäíàêî îíà äî ñèõ ïîð íå äîêàçàíà è íå îïðîâåðãíóòà.
Ïåðâûé øàã â èçó÷åíèè äçåòà-ôóíêöèè â íå÷åòíûõ òî÷êàõ ñäåëàë â
1978ã. Ð. Àïåðè [27], äîêàçàâ èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3). Âêðàòöå, åãî äîêà-
çàòåëüñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñòðîÿòñÿ äèîôàíòîâû ïðèáëèæåíèÿ ê
ζ(3),
unζ(3) − vn, n = 0, 1, 2, . . . , (1.1)
ãäå äëÿ un è vn âûïèñûâàþòñÿ ÿâíûå ôîðìóëû, èç êîòîðûõ ñëåäóåò, ÷òî
un ∈ Z è D3
n
vn ∈ Z (÷åðåç Dn îáîçíà÷åíî íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë
1, 2, . . . , n). Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâà îöåíêà
0 < |unζ(3) − vn| < c(

2 − 1)4n
. (1.2)
Óìíîæàÿ (1.2) íà D3
n
, ïîëó÷èì
0 < |D
3
nunζ(3) − D
3
n
vn| < cD3
n
(

2 − 1)4n
.
Òàê êàê Dn 6 3
n è 3
3
(

2 − 1)4 < 1, òî ïðàâàÿ ÷àñòü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè
n → ∞. Îòêóäà è ñëåäóåò èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3).
Òðàíñöåíäåíòíîñòü ζ(3) èëè èððàöèîíàëüíîñòü ζ(2n + 1) ïðè n > 2
ïîêà íå äîêàçàíà. Îäíàêî ïîñëå Àïåðè, ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ îáîáùåíèé,
áûëè äîêàçàíû èíòåðåñíûå ðåçóëüòàòû. Îòìåòèì, â ÷àñòíîñòè, ðåçóëüòàò
Ò. Ðèâîàëÿ [41] î áåñêîíå÷íîñòè ðàçìåðíîñòè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä
1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 6
Q, ïîðîæäåííîãî çíà÷åíèÿìè ζ(2n + 1), à òàêæå ðåçóëüòàò Â.Â. Çóäèëèíà
[11] îá èððàöèîíàëüíîñòè ïî êðàéíåé ìåðå îäíîãî èç ÷åòûðåõ ÷èñåë ζ(5),
ζ(7), ζ(9), ζ(11).
1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñè-
ìàöèé
Ïåðâûì, êòî ðàññìîòðåë êðàòíûå èíòåãðàëû â ñâÿçè äèîôàíòîâûìè
ïðèáëèæåíèÿìè, áûë Ê. Ìàëåð ([36]). Îí èñïîëüçîâàë èíòåãðàëû, êîòîðûå
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (ñì. [17])
Z
[0,1]m
Y
m
i=1
x
ai−1
i
(1 − xi)
bi−ai−1
(1 − zx1 · · · xi)
ci
dx1 · · · dxm
ïðè ñïåöèàëüíîì âûáîðå ïàðàìåòðîâ ai
, bi
, ci
, äëÿ îöåíêè ñâåðõó ëèíåéíûõ
ôîðì, ïðèáëèæàþùèõ çíà÷åíèÿ áèíîìîâ (1 − z)
ω
.
Ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà Àïåðè èððàöèîíàëüíîñòè ζ(3) Ô. Áåéêåðñ [29] â
1979ã. ïðåäëîæèë äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà
Z
[0,1]3
x
n
(1 − x)
n
y
n
(1 − y)
n
z
n
(1 − z)
n
(1 − z(1 − xy))n+1 dx dy dz. (1.3)
Ýòîò èíòåãðàë ðàâåí 2(unζ(3)−vn), ãäå un, vn  òå æå, ÷òî è â (1.1). Òàêæå
â [29] áûë ðàññìîòðåí èíòåãðàë
Z
[0,1]2
x
n
(1 − x)
n
y
n
(1 − y)
n
(1 − xy)
n+1 dx dy,
êîòîðûé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1, ζ(2) ñ ðà-
öèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ñ åãî ïîìîùüþ ìîæåò áûòü äîêàçàíà èð-
ðàöèîíàëüíîñòü ζ(2). Êîíå÷íî, èððàöèîíàëüíîñòü (è äàæå òðàíñöåíäåíò-
íîñòü) ÷èñëà ζ(2) = π
2/6 õîðîøî èçâåñòíà, îäíàêî ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëîâ
Áåéêåðñà è èíîãî âûáîðà èõ ïàðàìåòðîâ äîêàçàíû íàèëó÷øèå îöåíêè ïî-
êàçàòåëÿ èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñåë π
2 è ζ(3) (ñì. [39], [40]). Êàê îáû÷íî,
1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 7
ïîêàçàòåëü èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñëà α  ýòî íèæíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà ÷è-
ñåë µ, äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî




α −
p
q




6
1
q
µ
èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé â öåëûõ p è q ñ q > 0.
Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ïîïûòêè îáîáùåíèÿ èíòåãðàëîâ Áåéêåðñà ñ öå-
ëüþ èçó÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè â öåëûõ òî÷êàõ. Ïåðâàÿ èç íèõ áûëà â 1990ã.
[1] ïðåäïðèíÿòà Î.Í. Âàñèëåíêî, êîòîðûé ðàññìîòðåë èíòåãðàëû
Vm,n =
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
n
i
(1 − xi)
n dx1dx2 . . . dxm
(1 − x1 + x1x2 − · · · + (−1)mx1x2 · · · xm)
n+1 . (1.4)
Èíòåãðàëû V2,n è V3,n (ïîñëå çàìåíû x3 → 1 − x3) ñîâïàäàþò ñ èíòåãðàëà-
ìè Áåéêåðñà. Âàñèëåíêî àíîíñèðîâàë íåêîòîðûå òîæäåñòâà, âûðàæàþùèå
ðåêóððåíòíî Vm,0 ÷åðåç Vm−2k,0, 1 6 k 6
m
2
, è êðàòíûå äçåòà-çíà÷åíèÿ
ζ(s1, . . . , sk) = X
n1>n2>···>nk>1
1
n
s1
1
. . . n
sk
k
.
Ýòî ïîçâîëèëî åìó äîêàçàòü, ÷òî V3,0 = 2ζ(3), V5,0 = 2ζ(5), à òàêæå óñòàíî-
âèòü, ÷òî V2m,0 åñòü ëèíåéíàÿ ôîðìà ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè
îò ζ(2), ζ(4), . . . , ζ(2m).
Èçó÷åíèå èíòåãðàëîâ ýòîãî âèäà ïðîäîëæèë Ä.Â. Âàñèëüåâ.  ðàáîòå
[2] ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé áûëè óñòàíîâëåíû ðàâåíñòâà
V2k,0 = 2(1 − 2
1−2k
)ζ(2k), V2k+1,0 = 2ζ(2k + 1)
äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ k. Äàëåå, â [3] Âàñèëüåâ äîêàçàë, ÷òî ïðè m = 4
è m = 5 èíòåãðàë (1.4) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíûõ ôîðì ñ ðàöèî-
íàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè îò 1, ζ(2), ζ(4) è 1, ζ(3), ζ(5) ñîîòâåòñòâåííî.
Âàñèëüåâ òàêæå ïðåäïîëîæèë, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîì íå÷åòíîì m > 3, èí-
òåãðàë ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1, ζ(3), ζ(5),. . . , ζ(m)
ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, à ïðè íå÷åòíîì m çíàìåíàòåëè ýòèõ
êîýôôèöèåíòîâ äåëÿò Dm
n
. Åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì (1.4) ÿâëÿåòñÿ èíòå-
1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 8
ãðàë
V (z) = Vm

a0, a1, a2, . . . , am
b1, b2, . . . , bm
; z

=
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai−1
i
(1 − xi)
bi−ai−1
(1 − zx1 + zx1x2 − · · · + (−1)mzx1x2 · · · xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm.
Â.Â. Çóäèëèí â [10] äîêàçàë, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ íà ïàðàìåò-
ðû, èíòåãðàë V (1) ðàâåí çíà÷åíèþ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè â òî÷êå
z = 1, ÷òî äîêàçûâàëî ïðåäñòàâëåíèå V (1) â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1
è ζ(k), ãäå k  öåëûå ÷èñëà òîé æå ÷åòíîñòè, ÷òî è m, 1 < k 6 m. Òåì
ñàìûì ãèïîòåçà Âàñèëüåâà, çà èñêëþ÷åíèåì óòâåðæäåíèÿ î çíàìåíàòåëÿõ
êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîé ôîðìû, áûëà äîêàçàíà. Îöåíêà æå çíàìåíàòåëÿ
ïðè íå÷åòíîì m = 2l + 1 â [10] áûëà õóæå ïðåäïîëàãàåìîé. Òî, ÷òî çíàìå-
íàòåëè êîýôôèöèåíòîâ äåëÿò D2l+1
n ïðè ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîì ïðåäñòàâëå-
íèè ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé çàäà÷åé, êîòîðàÿ áûëà ðåøåíà íåäàâíî Ðèâîàëåì è
Êðàòòåíòàëåðîì ([35, Theoreme
1]). Ãèïîòåçà Âàñèëüåâà áóäåò ïîëíîñòüþ
äîêàçàíà â ðàçäåëå 3.6 áåç èñïîëüçîâàíèÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî ïðåäñòàâ-
ëåíèÿ V2l+1,n.
 1998ã. Â.Í. Ñîðîêèí [20] îïóáëèêîâàë èíîå äîêàçàòåëüñòâî èððàöèî-
íàëüíîñòè ζ(3), èñïîëüçóþùåå èíòåãðàë
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 − x1)
nx
n
2
(1 − x2)
nx
n
3
(1 − x3)
n
(1 − x1x2)
n+1(1 − x1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3. (1.5)
Îêàçûâàåòñÿ, ïîñëåäíèé èíòåãðàë ðàâåí èíòåãðàëó Áåéêåðñà (1.3) (è èíòå-
ãðàëó (1.4) ïðè m = 3). Ýòîò ôàêò íåçàâèñèìî ïîêàçàí Ñ. Ôèøëåðîì ([31])
è àâòîðîì (ñì. ñëåäñòâèå 2.2).
Èíòåãðàëû òîãî æå òèïà
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
n−δ
i
(1 − xi)
n
Ql
j=1(
z
x1x2...x2j−2
− x2j−1x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l
èñïîëüçîâàëèñü â [21] äëÿ îöåíêè ìåðû òðàíñöåíäåíòíîñòè π
2
. Â äèññåðòà-
öèîííîé ðàáîòå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëåäóþùåå îáîáùåíèå èíòåãðàëîâ
Ñîðîêèíà:
1.3 Îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû è êðàòíûå äçåòà-ôóíêöèè 9
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai−1
i
(1 − xi)
bi−ai−1
Ql
j=1(1 − zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 < r1 < r2 < · · · < rl = m. (1.6)
1.3 Îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû è êðàòíûå
äçåòà-ôóíêöèè
 ðàáîòå áîëüøóþ ðîëü èãðàþò îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû, îïðåäå-
ëÿåìûå ðàâåíñòâàìè
Li~s(z) = X
n1>n2>···>nl>1
z
n1
n
s1
1 n
s2
2
. . . n
sl
l
,
Le~s(z) = X
n1>n2>...>nl>1
z
n1
n
s1
1 n
s2
2
. . . n
sl
l
,
ãäå ~s = (s1, s2, . . . , sl)  âåêòîð ñ íàòóðàëüíûìè êîìïîíåíòàìè. Â äàëüíåé-
øåì áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëèíà l(~s) âåêòîðà ~s  êîëè÷åñòâî åãî êîîðäèíàò
è âåñ w(~s)  èõ ñóììà. Ðÿäû, îïðåäåëÿþùèå îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû,
ñõîäÿòñÿ ïðè |z| < 1. Ôóíêöèè Le~s(z) è Li~s(z) ìîãóò áûòü ëèíåéíî âûðà-
æåíû äðóã ÷åðåç äðóãà. À èìåííî (ñì. [23]):
Les1,...,sl
(z) = X
~p
Li~p(z), Lis1,...,sl
(z) = X
~p
(−1)α(~p) Le~p(z),
ãäå ~p ïðîáåãàåò âñå âåêòîðà âèäà (s1 ∗ s2 ∗ · · · ∗ sl). Çíàê '*' ìîæåò áûòü
ëèáî çíàêîì '+', ëèáî çíàêîì ',', à α(~p) ðàâíÿåòñÿ êîëè÷åñòâó çíàêîâ '+'.
Äëÿ óäîáñòâà ïîëîæèì Li∅(z) = Le∅(z) = 1. Ïðè l = 1 îáîáùåííûå ïîëè-
ëîãàðèôìû ïðåâðàùàþòñÿ â êëàññè÷åñêèå ïîëèëîãàðèôìû:
Lis(z) = Les(z) = X

n=1
z
n
ns
.
Ñ îáîáùåííûìè ïîëèëîãàðèôìàìè òåñíî ñâÿçàíî ïîíÿòèå êðàòíîé
äçåòà-ôóíêöèè:
ζ(s1, s2, . . . , sl) = X
n1>n2>···>nl>1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
,
1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè 10
ζe(s1, s2, . . . , sl) = X
n1>n2>···>nl>1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Ýòè ðÿäû ñõîäÿòñÿ ïðè íàòóðàëüíûõ sj è óñëîâèè s1 > 1 (åñëè s1 = 1, òî
ðÿä ðàñõîäèòñÿ).  ýòîì ñëó÷àå èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
ζ(s1, s2, . . . , sl) = Lis1,s2,...,sl
(1), ζe(s1, s2, . . . , sl) = Les1,s2,...,sl
(1).
Åñòåñòâåííî, êàê è ó îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ, ïðè ôèêñèðîâàííûõ
s1, s2, . . . , sl
, çíà÷åíèå ζe(s1, s2, . . . , sl) âûðàæàåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáè-
íàöèè çíà÷åíèé ζ îò âåêòîðîâ òîãî æå âåñà, ÷òî è ~s, è íàîáîðîò. Çíà÷å-
íèÿ ôóíêöèè ζ(s1, s2, . . . , sl) äîâîëüíî õîðîøî èçó÷åíû, ìåæäó íèìè ñó-
ùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ëèíåéíûå è àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ. Çíà÷åíèÿ
æå ζe(s1, s2, . . . , sl) (îáîçíà÷åíèå íå ÿâëÿåòñÿ ïðèíÿòûì) ïîêà ÷òî îñòàþòñÿ
áîëüøå â òåíè. Îäíàêî, ñêàæåì, ðàâåíñòâî ζe({2}k, 1) = 2ζ(2k + 1) ìîæåò
áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ èçó÷åíèÿ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â íå÷åò-
íûõ òî÷êàõ. Çäåñü è äàëåå, {a}k îçíà÷àåò k ðàç ïîâòîðåííîå ÷åðåç çàïÿòóþ
÷èñëî a. Ïðè l = 1 îáà âàðèàíòà êðàòíîé äçåòà-ôóíêöèè ïðåâðàùàþòñÿ â
îáû÷íóþ äçåòà-ôóíêöèþ Ðèìàíà.
1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè
Îêàçûâàåòñÿ, èíòåãðàë V (z), ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ïàðàìåò-
ðû ìîæåò áûòü ñâåäåí ê S(z). Ìû óñòàíîâèì ýòî â ðàçäåëå 2.1, äîêàçàâ
áîëåå îáùåå òîæäåñòâî.
Ïóñòü äàíû íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1 6 r1 < r2 < · · · < rl = m, r0 =
0 è êîìïëåêñíûå ÷èñëà a0 è ai
, bi
, 1 6 i 6 m. Îïðåäåëèì ìíîãî÷ëåíû
Qj (z, x1, x2, . . . , xm), 1 6 j 6 l:
Q0 = 1, Qj (z, x1, x2, . . . , xm) = Qj−1(z, x1, x2, . . . , xm)−z(1−xrj
)
Y
16ixi
,
ìíîæåñòâî S è ÷èñëà ci
:
S = {rj
|1 6 j 6 l}, ci =
(
ai
, åñëè i /∈ S,
arj−1
, åñëè i = rj ∈ S.
1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè 11
Òîãäà ñïðàâåäëèâà
Teopeìà 2.1. Ïóñòü Re(a0) > 0, Re(bi) > Re(ai) > 0 ïðè 1 6 i 6 m,
Re(bi) > Re(ci) ïðè i ∈ S. Òîãäà ïðè z ∈ C, |z| < 1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai−1
i
(1 − xi)
bi−ai−1
Ql(z, x1, x2, . . . , xm)
a0
dx
=
Γ(am)
Γ(a0)
Y
i∈S
Γ(bi − ai)
Γ(bi − ci)
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ci−1
i
(1 − xi)
bi−ci−1
Q
i∈S
(1 − zx1 . . . xi)
bi−ai
dx,
ãäå dx = dx1dx2 · · · dxm è îáà èíòåãðàëà ñõîäÿòñÿ.
Èç ýòîãî èíòåãðàëüíîãî òîæäåñòâà âûòåêàåò ðàâåíñòâî èíòåãðàëà V (z)
èíòåãðàëó âèäà S(z). Ýòîò ðåçóëüòàò ôîðìóëèðóåòñÿ â âèäå äâóõ òåîðåì â
çàâèñèìîñòè îò ÷åòíîñòè ðàçìåðíîñòè èíòåãðàëà V (z).
Teopeìà 2.3. Ïóñòü Re(a0) > 0, Re(bi) > Re(ai) > 0 ïðè 1 6 i 6
2l + 1, Re(b2j ) > Re(a2j−2) ïðè 1 6 j 6 l, Re(b2l+1) > Re(a2l). Òîãäà ïðè
|z| < 1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
V2l+1 
a0, a1, a2, . . . , a2l+1
b1, b2, . . . , b2l+1
; z

=
Γ(a2l+1)
Γ(a0)
Γ(b2l+1 − a2l+1)
Γ(b2l+1 − a2l)
Y
l
j=1
Γ(b2j
Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ
òî÷êàõ
Íàïîìíèì, ÷òî äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà ζ(s) ïðè Re s > 1 îïðåäåëÿåòñÿ
ñëåäóþùèì ðÿäîì:
ζ(s) = X

n=1
1
ns
.
Îäíà èç ïðîáëåì òåîðèè òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë ñîñòîèò â òîì, ÷òî-
áû èçó÷èòü àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â
öåëûõ òî÷êàõ s > 2, ò.å. âûÿñíèòü, ÿâëÿþòñÿ ýòè ÷èñëà ðàöèîíàëüíûìè
èëè èððàöèîíàëüíûìè, àëãåáðàè÷åñêèìè èëè òðàíñöåíäåíòíûìè, à òàêæå
íàéòè âñå àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íèìè.
Åùå Ýéëåð ïîêàçàë, ÷òî â ÷åòíûõ òî÷êàõ äçåòà-ôóíêöèþ ìîæíî âû-
÷èñëèòü ÿâíî:
ζ(2n) = (−1)n−1
(2π)
2n
2(2n)!B2n,
ãäå B2n  ÷èñëà Áåðíóëëè, óäîâëåòâîðÿþùèå ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ
X
n
k=0

n + 1
k

Bk = 0, n > 1,
è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ B0 = 1.  1882 ã. Ëèíäåìàí äîêàçàë òðàíñöåíäåíò-
íîñòü ÷èñëà π. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íàòóðàëüíîì n ÷èñëî ζ(2n) òðàíñöåí-
1.1 Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ 5
äåíòíî.
Ñèòóàöèÿ ñ ÷èñëàìè ζ(2n+ 1) íàìíîãî áîëåå ñëîæíàÿ. Ïðîáëåìà àðèô-
ìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ýòèõ ÷èñåë ïîäíèìàëàñü åùå â 1934 ã. À.Î. Ãåëüôîíäîì
(ñì. çàêëþ÷åíèå â [4]). Ñóùåñòâóåò
Ãèïîòåçà. Ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n è äëÿ ëþáîãî íåíóëåâîãî ìíîãî÷ëå-
íà P(x0, . . . , xn) ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè âåðíî
P(π, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(2n + 1)) 6= 0.
Î÷åâèäíî, äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ãèïîòåçû ïîëíîñòüþ áû ðåøèëî ïðîáëåìó
àðèôìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ.
 ÷àñòíîñòè, èç ýòîé ãèïîòåçû ñëåäóåò òðàíñöåíäåíòíîñòü ÷èñåë ζ(2n+ 1).
Îäíàêî îíà äî ñèõ ïîð íå äîêàçàíà è íå îïðîâåðãíóòà.
Ïåðâûé øàã â èçó÷åíèè äçåòà-ôóíêöèè â íå÷åòíûõ òî÷êàõ ñäåëàë â
1978ã. Ð. Àïåðè [27], äîêàçàâ èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3). Âêðàòöå, åãî äîêà-
çàòåëüñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñòðîÿòñÿ äèîôàíòîâû ïðèáëèæåíèÿ ê
ζ(3),
unζ(3) − vn, n = 0, 1, 2, . . . , (1.1)
ãäå äëÿ un è vn âûïèñûâàþòñÿ ÿâíûå ôîðìóëû, èç êîòîðûõ ñëåäóåò, ÷òî
un ∈ Z è D3
n
vn ∈ Z (÷åðåç Dn îáîçíà÷åíî íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë
1, 2, . . . , n). Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâà îöåíêà
0 < |unζ(3) − vn| < c(

2 − 1)4n
. (1.2)
Óìíîæàÿ (1.2) íà D3
n
, ïîëó÷èì
0 < |D
3
nunζ(3) − D
3
n
vn| < cD3
n
(

2 − 1)4n
.
Òàê êàê Dn 6 3
n è 3
3
(

2 − 1)4 < 1, òî ïðàâàÿ ÷àñòü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè
n → ∞. Îòêóäà è ñëåäóåò èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3).
Òðàíñöåíäåíòíîñòü ζ(3) èëè èððàöèîíàëüíîñòü ζ(2n + 1) ïðè n > 2
ïîêà íå äîêàçàíà. Îäíàêî ïîñëå Àïåðè, ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ îáîáùåíèé,
áûëè äîêàçàíû èíòåðåñíûå ðåçóëüòàòû. Îòìåòèì, â ÷àñòíîñòè, ðåçóëüòàò
Ò. Ðèâîàëÿ [41] î áåñêîíå÷íîñòè ðàçìåðíîñòè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä
1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 6
Q, ïîðîæäåííîãî çíà÷åíèÿìè ζ(2n + 1), à òàêæå ðåçóëüòàò Â.Â. Çóäèëèíà
[11] îá èððàöèîíàëüíîñòè ïî êðàéíåé ìåðå îäíîãî èç ÷åòûðåõ ÷èñåë ζ(5),
ζ(7), ζ(9), ζ(11).
1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñè-
ìàöèé
Ïåðâûì, êòî ðàññìîòðåë êðàòíûå èíòåãðàëû â ñâÿçè äèîôàíòîâûìè
ïðèáëèæåíèÿìè, áûë Ê. Ìàëåð ([36]). Îí èñïîëüçîâàë èíòåãðàëû, êîòîðûå
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (ñì. [17])
Z
[0,1]m
Y
m
i=1
x
ai−1
i
(1 − xi)
bi−ai−1
(1 − zx1 · · · xi)
ci
dx1 · · · dxm
ïðè ñïåöèàëüíîì âûáîðå ïàðàìåòðîâ ai
, bi
, ci
, äëÿ îöåíêè ñâåðõó ëèíåéíûõ
ôîðì, ïðèáëèæàþùèõ çíà÷åíèÿ áèíîìîâ (1 − z)
ω
.
Ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà Àïåðè èððàöèîíàëüíîñòè ζ(3) Ô. Áåéêåðñ [29] â
1979ã. ïðåäëîæèë äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà
Z
[0,1]3
x
n
(1 − x)
n
y
n
(1 − y)
n
z
n
(1 − z)
n
(1 − z(1 − xy))n+1 dx dy dz. (1.3)
Ýòîò èíòåãðàë ðàâåí 2(unζ(3)−vn), ãäå un, vn  òå æå, ÷òî è â (1.1). Òàêæå
â [29] áûë ðàññìîòðåí èíòåãðàë
Z
[0,1]2
x
n
(1 − x)
n
y
n
(1 − y)
n
(1 − xy)
n+1 dx dy,
êîòîðûé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1, ζ(2) ñ ðà-
öèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ñ åãî ïîìîùüþ ìîæåò áûòü äîêàçàíà èð-
ðàöèîíàëüíîñòü ζ(2). Êîíå÷íî, èððàöèîíàëüíîñòü (è äàæå òðàíñöåíäåíò-
íîñòü) ÷èñëà ζ(2) = π
2/6 õîðîøî èçâåñòíà, îäíàêî ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëîâ
Áåéêåðñà è èíîãî âûáîðà èõ ïàðàìåòðîâ äîêàçàíû íàèëó÷øèå îöåíêè ïî-
êàçàòåëÿ èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñåë π
2 è ζ(3) (ñì. [39], [40]). Êàê îáû÷íî,
1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 7
ïîêàçàòåëü èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñëà α  ýòî íèæíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà ÷è-
ñåë µ, äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî




α −
p
q




6
1
q
µ
èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé â öåëûõ p è q ñ q > 0.
Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ïîïûòêè îáîáùåíèÿ èíòåãðàëîâ Áåéêåðñà ñ öå-
ëüþ èçó÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè â öåëûõ òî÷êàõ. Ïåðâàÿ èç íèõ áûëà â 1990ã.
[1] ïðåäïðèíÿòà Î.Í. Âàñèëåíêî, êîòîðûé ðàññìîòðåë èíòåãðàëû
Vm,n =
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
n
i
(1 − xi)
n dx1dx2 . . . dxm
(1 − x1 + x1x2 − · · · + (−1)mx1x2 · · · xm)
n+1 . (1.4)
Èíòåãðàëû V2,n è V3,n (ïîñëå çàìåíû x3 → 1 − x3) ñîâïàäàþò ñ èíòåãðàëà-
ìè Áåéêåðñà. Âàñèëåíêî àíîíñèðîâàë íåêîòîðûå òîæäåñòâà, âûðàæàþùèå
ðåêóððåíòíî Vm,0 ÷åðåç Vm−2k,0, 1 6 k 6
m
2
, è êðàòíûå äçåòà-çíà÷åíèÿ
ζ(s1, . . . , sk) = X
n1>n2>···>nk>1
1
n
s1
1
. . . n
sk
k
.
Ýòî ïîçâîëèëî åìó äîêàçàòü, ÷òî V3,0 = 2ζ(3), V5,0 = 2ζ(5), à òàêæå óñòàíî-
âèòü, ÷òî V2m,0 åñòü ëèíåéíàÿ ôîðìà ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè
îò ζ(2), ζ(4), . . . , ζ(2m).
Èçó÷åíèå èíòåãðàëîâ ýòîãî âèäà ïðîäîëæèë Ä.Â. Âàñèëüåâ.  ðàáîòå
[2] ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé áûëè óñòàíîâëåíû ðàâåíñòâà
V2k,0 = 2(1 − 2
1−2k
)ζ(2k), V2k+1,0 = 2ζ(2k + 1)
äëÿ âñå
56565 04.05.2017 в 13:12
Написал(а): 46464 положительный
Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ
òî÷êàõ
Íàïîìíèì, ÷òî äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà ζ(s) ïðè Re s > 1 îïðåäåëÿåòñÿ
ñëåäóþùèì ðÿäîì:
ζ(s) = X

n=1
1
ns
.
Îäíà èç ïðîáëåì òåîðèè òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë ñîñòîèò â òîì, ÷òî-
áû èçó÷èòü àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â
öåëûõ òî÷êàõ s > 2, ò.å. âûÿñíèòü, ÿâëÿþòñÿ ýòè ÷èñëà ðàöèîíàëüíûìè
èëè èððàöèîíàëüíûìè, àëãåáðàè÷åñêèìè èëè òðàíñöåíäåíòíûìè, à òàêæå
íàéòè âñå àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íèìè.
Åùå Ýéëåð ïîêàçàë, ÷òî â ÷åòíûõ òî÷êàõ äçåòà-ôóíêöèþ ìîæíî âû-
÷èñëèòü ÿâíî:
ζ(2n) = (−1)n−1
(2π)
2n
2(2n)!B2n,
ãäå B2n  ÷èñëà Áåðíóëëè, óäîâëåòâîðÿþùèå ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ
X
n
k=0

n + 1
k

Bk = 0, n > 1,
è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ B0 = 1.  1882 ã. Ëèíäåìàí äîêàçàë òðàíñöåíäåíò-
íîñòü ÷èñëà π. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íàòóðàëüíîì n ÷èñëî ζ(2n) òðàíñöåí-
1.1 Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ 5
äåíòíî.
Ñèòóàöèÿ ñ ÷èñëàìè ζ(2n+ 1) íàìíîãî áîëåå ñëîæíàÿ. Ïðîáëåìà àðèô-
ìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ýòèõ ÷èñåë ïîäíèìàëàñü åùå â 1934 ã. À.Î. Ãåëüôîíäîì
(ñì. çàêëþ÷åíèå â [4]). Ñóùåñòâóåò
Ãèïîòåçà. Ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n è äëÿ ëþáîãî íåíóëåâîãî ìíîãî÷ëå-
íà P(x0, . . . , xn) ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè âåðíî
P(π, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(2n + 1)) 6= 0.
Î÷åâèäíî, äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ãèïîòåçû ïîëíîñòüþ áû ðåøèëî ïðîáëåìó
àðèôìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ.
 ÷àñòíîñòè, èç ýòîé ãèïîòåçû ñëåäóåò òðàíñöåíäåíòíîñòü ÷èñåë ζ(2n+ 1).
Îäíàêî îíà äî ñèõ ïîð íå äîêàçàíà è íå îïðîâåðãíóòà.
Ïåðâûé øàã â èçó÷åíèè äçåòà-ôóíêöèè â íå÷åòíûõ òî÷êàõ ñäåëàë â
1978ã. Ð. Àïåðè [27], äîêàçàâ èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3). Âêðàòöå, åãî äîêà-
çàòåëüñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñòðîÿòñÿ äèîôàíòîâû ïðèáëèæåíèÿ ê
ζ(3),
unζ(3) − vn, n = 0, 1, 2, . . . , (1.1)
ãäå äëÿ un è vn âûïèñûâàþòñÿ ÿâíûå ôîðìóëû, èç êîòîðûõ ñëåäóåò, ÷òî
un ∈ Z è D3
n
vn ∈ Z (÷åðåç Dn îáîçíà÷åíî íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë
1, 2, . . . , n). Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâà îöåíêà
0 < |unζ(3) − vn| < c(

2 − 1)4n
. (1.2)
Óìíîæàÿ (1.2) íà D3
n
, ïîëó÷èì
0 < |D
3
nunζ(3) − D
3
n
vn| < cD3
n
(

2 − 1)4n
.
Òàê êàê Dn 6 3
n è 3
3
(

2 − 1)4 < 1, òî ïðàâàÿ ÷àñòü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè
n → ∞. Îòêóäà è ñëåäóåò èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3).
Òðàíñöåíäåíòíîñòü ζ(3) èëè èððàöèîíàëüíîñòü ζ(2n + 1) ïðè n > 2
ïîêà íå äîêàçàíà. Îäíàêî ïîñëå Àïåðè, ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ îáîáùåíèé,
áûëè äîêàçàíû èíòåðåñíûå ðåçóëüòàòû. Îòìåòèì, â ÷àñòíîñòè, ðåçóëüòàò
Ò. Ðèâîàëÿ [41] î áåñêîíå÷íîñòè ðàçìåðíîñòè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä
1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 6
Q, ïîðîæäåííîãî çíà÷åíèÿìè ζ(2n + 1), à òàêæå ðåçóëüòàò Â.Â. Çóäèëèíà
[11] îá èððàöèîíàëüíîñòè ïî êðàéíåé ìåðå îäíîãî èç ÷åòûðåõ ÷èñåë ζ(5),
ζ(7), ζ(9), ζ(11).
1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñè-
ìàöèé
Ïåðâûì, êòî ðàññìîòðåë êðàòíûå èíòåãðàëû â ñâÿçè äèîôàíòîâûìè
ïðèáëèæåíèÿìè, áûë Ê. Ìàëåð ([36]). Îí èñïîëüçîâàë èíòåãðàëû, êîòîðûå
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (ñì. [17])
Z
[0,1]m
Y
m
i=1
x
ai−1
i
(1 − xi)
bi−ai−1
(1 − zx1 · · · xi)
ci
dx1 · · · dxm
ïðè ñïåöèàëüíîì âûáîðå ïàðàìåòðîâ ai
, bi
, ci
, äëÿ îöåíêè ñâåðõó ëèíåéíûõ
ôîðì, ïðèáëèæàþùèõ çíà÷åíèÿ áèíîìîâ (1 − z)
ω
.
Ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà Àïåðè èððàöèîíàëüíîñòè ζ(3) Ô. Áåéêåðñ [29] â
1979ã. ïðåäëîæèë äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà
Z
[0,1]3
x
n
(1 − x)
n
y
n
(1 − y)
n
z
n
(1 − z)
n
(1 − z(1 − xy))n+1 dx dy dz. (1.3)
Ýòîò èíòåãðàë ðàâåí 2(unζ(3)−vn), ãäå un, vn  òå æå, ÷òî è â (1.1). Òàêæå
â [29] áûë ðàññìîòðåí èíòåãðàë
Z
[0,1]2
x
n
(1 − x)
n
y
n
(1 − y)
n
(1 − xy)
n+1 dx dy,
êîòîðûé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1, ζ(2) ñ ðà-
öèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ñ åãî ïîìîùüþ ìîæåò áûòü äîêàçàíà èð-
ðàöèîíàëüíîñòü ζ(2). Êîíå÷íî, èððàöèîíàëüíîñòü (è äàæå òðàíñöåíäåíò-
íîñòü) ÷èñëà ζ(2) = π
2/6 õîðîøî èçâåñòíà, îäíàêî ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëîâ
Áåéêåðñà è èíîãî âûáîðà èõ ïàðàìåòðîâ äîêàçàíû íàèëó÷øèå îöåíêè ïî-
êàçàòåëÿ èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñåë π
2 è ζ(3) (ñì. [39], [40]). Êàê îáû÷íî,
1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 7
ïîêàçàòåëü èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñëà α  ýòî íèæíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà ÷è-
ñåë µ, äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî




α −
p
q




6
1
q
µ
èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé â öåëûõ p è q ñ q > 0.
Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ïîïûòêè îáîáùåíèÿ èíòåãðàëîâ Áåéêåðñà ñ öå-
ëüþ èçó÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè â öåëûõ òî÷êàõ. Ïåðâàÿ èç íèõ áûëà â 1990ã.
[1] ïðåäïðèíÿòà Î.Í. Âàñèëåíêî, êîòîðûé ðàññìîòðåë èíòåãðàëû
Vm,n =
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
n
i
(1 − xi)
n dx1dx2 . . . dxm
(1 − x1 + x1x2 − · · · + (−1)mx1x2 · · · xm)
n+1 . (1.4)
Èíòåãðàëû V2,n è V3,n (ïîñëå çàìåíû x3 → 1 − x3) ñîâïàäàþò ñ èíòåãðàëà-
ìè Áåéêåðñà. Âàñèëåíêî àíîíñèðîâàë íåêîòîðûå òîæäåñòâà, âûðàæàþùèå
ðåêóððåíòíî Vm,0 ÷åðåç Vm−2k,0, 1 6 k 6
m
2
, è êðàòíûå äçåòà-çíà÷åíèÿ
ζ(s1, . . . , sk) = X
n1>n2>···>nk>1
1
n
s1
1
. . . n
sk
k
.
Ýòî ïîçâîëèëî åìó äîêàçàòü, ÷òî V3,0 = 2ζ(3), V5,0 = 2ζ(5), à òàêæå óñòàíî-
âèòü, ÷òî V2m,0 åñòü ëèíåéíàÿ ôîðìà ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè
îò ζ(2), ζ(4), . . . , ζ(2m).
Èçó÷åíèå èíòåãðàëîâ ýòîãî âèäà ïðîäîëæèë Ä.Â. Âàñèëüåâ.  ðàáîòå
[2] ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé áûëè óñòàíîâëåíû ðàâåíñòâà
V2k,0 = 2(1 − 2
1−2k
)ζ(2k), V2k+1,0 = 2ζ(2k + 1)
äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ k. Äàëåå, â [3] Âàñèëüåâ äîêàçàë, ÷òî ïðè m = 4
è m = 5 èíòåãðàë (1.4) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíûõ ôîðì ñ ðàöèî-
íàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè îò 1, ζ(2), ζ(4) è 1, ζ(3), ζ(5) ñîîòâåòñòâåííî.
Âàñèëüåâ òàêæå ïðåäïîëîæèë, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîì íå÷åòíîì m > 3, èí-
òåãðàë ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1, ζ(3), ζ(5),. . . , ζ(m)
ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, à ïðè íå÷åòíîì m çíàìåíàòåëè ýòèõ
êîýôôèöèåíòîâ äåëÿò Dm
n
. Åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì (1.4) ÿâëÿåòñÿ èíòå-
1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 8
ãðàë
V (z) = Vm

a0, a1, a2, . . . , am
b1, b2, . . . , bm
; z

=
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai−1
i
(1 − xi)
bi−ai−1
(1 − zx1 + zx1x2 − · · · + (−1)mzx1x2 · · · xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm.
Â.Â. Çóäèëèí â [10] äîêàçàë, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ íà ïàðàìåò-
ðû, èíòåãðàë V (1) ðàâåí çíà÷åíèþ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè â òî÷êå
z = 1, ÷òî äîêàçûâàëî ïðåäñòàâëåíèå V (1) â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1
è ζ(k), ãäå k  öåëûå ÷èñëà òîé æå ÷åòíîñòè, ÷òî è m, 1 < k 6 m. Òåì
ñàìûì ãèïîòåçà Âàñèëüåâà, çà èñêëþ÷åíèåì óòâåðæäåíèÿ î çíàìåíàòåëÿõ
êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîé ôîðìû, áûëà äîêàçàíà. Îöåíêà æå çíàìåíàòåëÿ
ïðè íå÷åòíîì m = 2l + 1 â [10] áûëà õóæå ïðåäïîëàãàåìîé. Òî, ÷òî çíàìå-
íàòåëè êîýôôèöèåíòîâ äåëÿò D2l+1
n ïðè ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîì ïðåäñòàâëå-
íèè ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé çàäà÷åé, êîòîðàÿ áûëà ðåøåíà íåäàâíî Ðèâîàëåì è
Êðàòòåíòàëåðîì ([35, Theoreme
1]). Ãèïîòåçà Âàñèëüåâà áóäåò ïîëíîñòüþ
äîêàçàíà â ðàçäåëå 3.6 áåç èñïîëüçîâàíèÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî ïðåäñòàâ-
ëåíèÿ V2l+1,n.
 1998ã. Â.Í. Ñîðîêèí [20] îïóáëèêîâàë èíîå äîêàçàòåëüñòâî èððàöèî-
íàëüíîñòè ζ(3), èñïîëüçóþùåå èíòåãðàë
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 − x1)
nx
n
2
(1 − x2)
nx
n
3
(1 − x3)
n
(1 − x1x2)
n+1(1 − x1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3. (1.5)
Îêàçûâàåòñÿ, ïîñëåäíèé èíòåãðàë ðàâåí èíòåãðàëó Áåéêåðñà (1.3) (è èíòå-
ãðàëó (1.4) ïðè m = 3). Ýòîò ôàêò íåçàâèñèìî ïîêàçàí Ñ. Ôèøëåðîì ([31])
è àâòîðîì (ñì. ñëåäñòâèå 2.2).
Èíòåãðàëû òîãî æå òèïà
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
n−δ
i
(1 − xi)
n
Ql
j=1(
z
x1x2...x2j−2
− x2j−1x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l
èñïîëüçîâàëèñü â [21] äëÿ îöåíêè ìåðû òðàíñöåíäåíòíîñòè π
2
. Â äèññåðòà-
öèîííîé ðàáîòå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëåäóþùåå îáîáùåíèå èíòåãðàëîâ
Ñîðîêèíà:
1.3 Îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû è êðàòíûå äçåòà-ôóíêöèè 9
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai−1
i
(1 − xi)
bi−ai−1
Ql
j=1(1 − zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 < r1 < r2 < · · · < rl = m. (1.6)
1.3 Îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû è êðàòíûå
äçåòà-ôóíêöèè
 ðàáîòå áîëüøóþ ðîëü èãðàþò îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû, îïðåäå-
ëÿåìûå ðàâåíñòâàìè
Li~s(z) = X
n1>n2>···>nl>1
z
n1
n
s1
1 n
s2
2
. . . n
sl
l
,
Le~s(z) = X
n1>n2>...>nl>1
z
n1
n
s1
1 n
s2
2
. . . n
sl
l
,
ãäå ~s = (s1, s2, . . . , sl)  âåêòîð ñ íàòóðàëüíûìè êîìïîíåíòàìè. Â äàëüíåé-
øåì áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëèíà l(~s) âåêòîðà ~s  êîëè÷åñòâî åãî êîîðäèíàò
è âåñ w(~s)  èõ ñóììà. Ðÿäû, îïðåäåëÿþùèå îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû,
ñõîäÿòñÿ ïðè |z| < 1. Ôóíêöèè Le~s(z) è Li~s(z) ìîãóò áûòü ëèíåéíî âûðà-
æåíû äðóã ÷åðåç äðóãà. À èìåííî (ñì. [23]):
Les1,...,sl
(z) = X
~p
Li~p(z), Lis1,...,sl
(z) = X
~p
(−1)α(~p) Le~p(z),
ãäå ~p ïðîáåãàåò âñå âåêòîðà âèäà (s1 ∗ s2 ∗ · · · ∗ sl). Çíàê '*' ìîæåò áûòü
ëèáî çíàêîì '+', ëèáî çíàêîì ',', à α(~p) ðàâíÿåòñÿ êîëè÷åñòâó çíàêîâ '+'.
Äëÿ óäîáñòâà ïîëîæèì Li∅(z) = Le∅(z) = 1. Ïðè l = 1 îáîáùåííûå ïîëè-
ëîãàðèôìû ïðåâðàùàþòñÿ â êëàññè÷åñêèå ïîëèëîãàðèôìû:
Lis(z) = Les(z) = X

n=1
z
n
ns
.
Ñ îáîáùåííûìè ïîëèëîãàðèôìàìè òåñíî ñâÿçàíî ïîíÿòèå êðàòíîé
äçåòà-ôóíêöèè:
ζ(s1, s2, . . . , sl) = X
n1>n2>···>nl>1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
,
1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè 10
ζe(s1, s2, . . . , sl) = X
n1>n2>···>nl>1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Ýòè ðÿäû ñõîäÿòñÿ ïðè íàòóðàëüíûõ sj è óñëîâèè s1 > 1 (åñëè s1 = 1, òî
ðÿä ðàñõîäèòñÿ).  ýòîì ñëó÷àå èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
ζ(s1, s2, . . . , sl) = Lis1,s2,...,sl
(1), ζe(s1, s2, . . . , sl) = Les1,s2,...,sl
(1).
Åñòåñòâåííî, êàê è ó îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ, ïðè ôèêñèðîâàííûõ
s1, s2, . . . , sl
, çíà÷åíèå ζe(s1, s2, . . . , sl) âûðàæàåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáè-
íàöèè çíà÷åíèé ζ îò âåêòîðîâ òîãî æå âåñà, ÷òî è ~s, è íàîáîðîò. Çíà÷å-
íèÿ ôóíêöèè ζ(s1, s2, . . . , sl) äîâîëüíî õîðîøî èçó÷åíû, ìåæäó íèìè ñó-
ùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ëèíåéíûå è àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ. Çíà÷åíèÿ
æå ζe(s1, s2, . . . , sl) (îáîçíà÷åíèå íå ÿâëÿåòñÿ ïðèíÿòûì) ïîêà ÷òî îñòàþòñÿ
áîëüøå â òåíè. Îäíàêî, ñêàæåì, ðàâåíñòâî ζe({2}k, 1) = 2ζ(2k + 1) ìîæåò
áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ èçó÷åíèÿ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â íå÷åò-
íûõ òî÷êàõ. Çäåñü è äàëåå, {a}k îçíà÷àåò k ðàç ïîâòîðåííîå ÷åðåç çàïÿòóþ
÷èñëî a. Ïðè l = 1 îáà âàðèàíòà êðàòíîé äçåòà-ôóíêöèè ïðåâðàùàþòñÿ â
îáû÷íóþ äçåòà-ôóíêöèþ Ðèìàíà.
1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè
Îêàçûâàåòñÿ, èíòåãðàë V (z), ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ïàðàìåò-
ðû ìîæåò áûòü ñâåäåí ê S(z). Ìû óñòàíîâèì ýòî â ðàçäåëå 2.1, äîêàçàâ
áîëåå îáùåå òîæäåñòâî.
Ïóñòü äàíû íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1 6 r1 < r2 < · · · < rl = m, r0 =
0 è êîìïëåêñíûå ÷èñëà a0 è ai
, bi
, 1 6 i 6 m. Îïðåäåëèì ìíîãî÷ëåíû
Qj (z, x1, x2, . . . , xm), 1 6 j 6 l:
Q0 = 1, Qj (z, x1, x2, . . . , xm) = Qj−1(z, x1, x2, . . . , xm)−z(1−xrj
)
Y
16ixi
,
ìíîæåñòâî S è ÷èñëà ci
:
S = {rj
|1 6 j 6 l}, ci =
(
ai
, åñëè i /∈ S,
arj−1
, åñëè i = rj ∈ S.
1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè 11
Òîãäà ñïðàâåäëèâà
Teopeìà 2.1. Ïóñòü Re(a0) > 0, Re(bi) > Re(ai) > 0 ïðè 1 6 i 6 m,
Re(bi) > Re(ci) ïðè i ∈ S. Òîãäà ïðè z ∈ C, |z| < 1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai−1
i
(1 − xi)
bi−ai−1
Ql(z, x1, x2, . . . , xm)
a0
dx
=
Γ(am)
Γ(a0)
Y
i∈S
Γ(bi − ai)
Γ(bi − ci)
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ci−1
i
(1 − xi)
bi−ci−1
Q
i∈S
(1 − zx1 . . . xi)
bi−ai
dx,
ãäå dx = dx1dx2 · · · dxm è îáà èíòåãðàëà ñõîäÿòñÿ.
Èç ýòîãî èíòåãðàëüíîãî òîæäåñòâà âûòåêàåò ðàâåíñòâî èíòåãðàëà V (z)
èíòåãðàëó âèäà S(z). Ýòîò ðåçóëüòàò ôîðìóëèðóåòñÿ â âèäå äâóõ òåîðåì â
çàâèñèìîñòè îò ÷åòíîñòè ðàçìåðíîñòè èíòåãðàëà V (z).
Teopeìà 2.3. Ïóñòü Re(a0) > 0, Re(bi) > Re(ai) > 0 ïðè 1 6 i 6
2l + 1, Re(b2j ) > Re(a2j−2) ïðè 1 6 j 6 l, Re(b2l+1) > Re(a2l). Òîãäà ïðè
|z| < 1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
V2l+1 
a0, a1, a2, . . . , a2l+1
b1, b2, . . . , b2l+1
; z

=
Γ(a2l+1)
Γ(a0)
Γ(b2l+1 − a2l+1)
Γ(b2l+1 − a2l)
Y
l
j=1
Γ(b2j
Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ
òî÷êàõ
Íàïîìíèì, ÷òî äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà ζ(s) ïðè Re s > 1 îïðåäåëÿåòñÿ
ñëåäóþùèì ðÿäîì:
ζ(s) = X

n=1
1
ns
.
Îäíà èç ïðîáëåì òåîðèè òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë ñîñòîèò â òîì, ÷òî-
áû èçó÷èòü àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â
öåëûõ òî÷êàõ s > 2, ò.å. âûÿñíèòü, ÿâëÿþòñÿ ýòè ÷èñëà ðàöèîíàëüíûìè
èëè èððàöèîíàëüíûìè, àëãåáðàè÷åñêèìè èëè òðàíñöåíäåíòíûìè, à òàêæå
íàéòè âñå àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íèìè.
Åùå Ýéëåð ïîêàçàë, ÷òî â ÷åòíûõ òî÷êàõ äçåòà-ôóíêöèþ ìîæíî âû-
÷èñëèòü ÿâíî:
ζ(2n) = (−1)n−1
(2π)
2n
2(2n)!B2n,
ãäå B2n  ÷èñëà Áåðíóëëè, óäîâëåòâîðÿþùèå ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ
X
n
k=0

n + 1
k

Bk = 0, n > 1,
è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ B0 = 1.  1882 ã. Ëèíäåìàí äîêàçàë òðàíñöåíäåíò-
íîñòü ÷èñëà π. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íàòóðàëüíîì n ÷èñëî ζ(2n) òðàíñöåí-
1.1 Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ 5
äåíòíî.
Ñèòóàöèÿ ñ ÷èñëàìè ζ(2n+ 1) íàìíîãî áîëåå ñëîæíàÿ. Ïðîáëåìà àðèô-
ìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ýòèõ ÷èñåë ïîäíèìàëàñü åùå â 1934 ã. À.Î. Ãåëüôîíäîì
(ñì. çàêëþ÷åíèå â [4]). Ñóùåñòâóåò
Ãèïîòåçà. Ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n è äëÿ ëþáîãî íåíóëåâîãî ìíîãî÷ëå-
íà P(x0, . . . , xn) ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè âåðíî
P(π, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(2n + 1)) 6= 0.
Î÷åâèäíî, äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ãèïîòåçû ïîëíîñòüþ áû ðåøèëî ïðîáëåìó
àðèôìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ.
 ÷àñòíîñòè, èç ýòîé ãèïîòåçû ñëåäóåò òðàíñöåíäåíòíîñòü ÷èñåë ζ(2n+ 1).
Îäíàêî îíà äî ñèõ ïîð íå äîêàçàíà è íå îïðîâåðãíóòà.
Ïåðâûé øàã â èçó÷åíèè äçåòà-ôóíêöèè â íå÷åòíûõ òî÷êàõ ñäåëàë â
1978ã. Ð. Àïåðè [27], äîêàçàâ èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3). Âêðàòöå, åãî äîêà-
çàòåëüñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñòðîÿòñÿ äèîôàíòîâû ïðèáëèæåíèÿ ê
ζ(3),
unζ(3) − vn, n = 0, 1, 2, . . . , (1.1)
ãäå äëÿ un è vn âûïèñûâàþòñÿ ÿâíûå ôîðìóëû, èç êîòîðûõ ñëåäóåò, ÷òî
un ∈ Z è D3
n
vn ∈ Z (÷åðåç Dn îáîçíà÷åíî íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë
1, 2, . . . , n). Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâà îöåíêà
0 < |unζ(3) − vn| < c(

2 − 1)4n
. (1.2)
Óìíîæàÿ (1.2) íà D3
n
, ïîëó÷èì
0 < |D
3
nunζ(3) − D
3
n
vn| < cD3
n
(

2 − 1)4n
.
Òàê êàê Dn 6 3
n è 3
3
(

2 − 1)4 < 1, òî ïðàâàÿ ÷àñòü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè
n → ∞. Îòêóäà è ñëåäóåò èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3).
Òðàíñöåíäåíòíîñòü ζ(3) èëè èððàöèîíàëüíîñòü ζ(2n + 1) ïðè n > 2
ïîêà íå äîêàçàíà. Îäíàêî ïîñëå Àïåðè, ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ îáîáùåíèé,
áûëè äîêàçàíû èíòåðåñíûå ðåçóëüòàòû. Îòìåòèì, â ÷àñòíîñòè, ðåçóëüòàò
Ò. Ðèâîàëÿ [41] î áåñêîíå÷íîñòè ðàçìåðíîñòè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä
1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 6
Q, ïîðîæäåííîãî çíà÷åíèÿìè ζ(2n + 1), à òàêæå ðåçóëüòàò Â.Â. Çóäèëèíà
[11] îá èððàöèîíàëüíîñòè ïî êðàéíåé ìåðå îäíîãî èç ÷åòûðåõ ÷èñåë ζ(5),
ζ(7), ζ(9), ζ(11).
1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñè-
ìàöèé
Ïåðâûì, êòî ðàññìîòðåë êðàòíûå èíòåãðàëû â ñâÿçè äèîôàíòîâûìè
ïðèáëèæåíèÿìè, áûë Ê. Ìàëåð ([36]). Îí èñïîëüçîâàë èíòåãðàëû, êîòîðûå
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (ñì. [17])
Z
[0,1]m
Y
m
i=1
x
ai−1
i
(1 − xi)
bi−ai−1
(1 − zx1 · · · xi)
ci
dx1 · · · dxm
ïðè ñïåöèàëüíîì âûáîðå ïàðàìåòðîâ ai
, bi
, ci
, äëÿ îöåíêè ñâåðõó ëèíåéíûõ
ôîðì, ïðèáëèæàþùèõ çíà÷åíèÿ áèíîìîâ (1 − z)
ω
.
Ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà Àïåðè èððàöèîíàëüíîñòè ζ(3) Ô. Áåéêåðñ [29] â
1979ã. ïðåäëîæèë äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà
Z
[0,1]3
x
n
(1 − x)
n
y
n
(1 − y)
n
z
n
(1 − z)
n
(1 − z(1 − xy))n+1 dx dy dz. (1.3)
Ýòîò èíòåãðàë ðàâåí 2(unζ(3)−vn), ãäå un, vn  òå æå, ÷òî è â (1.1). Òàêæå
â [29] áûë ðàññìîòðåí èíòåãðàë
Z
[0,1]2
x
n
(1 − x)
n
y
n
(1 − y)
n
(1 − xy)
n+1 dx dy,
êîòîðûé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1, ζ(2) ñ ðà-
öèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ñ åãî ïîìîùüþ ìîæåò áûòü äîêàçàíà èð-
ðàöèîíàëüíîñòü ζ(2). Êîíå÷íî, èððàöèîíàëüíîñòü (è äàæå òðàíñöåíäåíò-
íîñòü) ÷èñëà ζ(2) = π
2/6 õîðîøî èçâåñòíà, îäíàêî ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëîâ
Áåéêåðñà è èíîãî âûáîðà èõ ïàðàìåòðîâ äîêàçàíû íàèëó÷øèå îöåíêè ïî-
êàçàòåëÿ èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñåë π
2 è ζ(3) (ñì. [39], [40]). Êàê îáû÷íî,
1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 7
ïîêàçàòåëü èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñëà α  ýòî íèæíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà ÷è-
ñåë µ, äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî




α −
p
q




6
1
q
µ
èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé â öåëûõ p è q ñ q > 0.
Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ïîïûòêè îáîáùåíèÿ èíòåãðàëîâ Áåéêåðñà ñ öå-
ëüþ èçó÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè â öåëûõ òî÷êàõ. Ïåðâàÿ èç íèõ áûëà â 1990ã.
[1] ïðåäïðèíÿòà Î.Í. Âàñèëåíêî, êîòîðûé ðàññìîòðåë èíòåãðàëû
Vm,n =
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
n
i
(1 − xi)
n dx1dx2 . . . dxm
(1 − x1 + x1x2 − · · · + (−1)mx1x2 · · · xm)
n+1 . (1.4)
Èíòåãðàëû V2,n è V3,n (ïîñëå çàìåíû x3 → 1 − x3) ñîâïàäàþò ñ èíòåãðàëà-
ìè Áåéêåðñà. Âàñèëåíêî àíîíñèðîâàë íåêîòîðûå òîæäåñòâà, âûðàæàþùèå
ðåêóððåíòíî Vm,0 ÷åðåç Vm−2k,0, 1 6 k 6
m
2
, è êðàòíûå äçåòà-çíà÷åíèÿ
ζ(s1, . . . , sk) = X
n1>n2>···>nk>1
1
n
s1
1
. . . n
sk
k
.
Ýòî ïîçâîëèëî åìó äîêàçàòü, ÷òî V3,0 = 2ζ(3), V5,0 = 2ζ(5), à òàêæå óñòàíî-
âèòü, ÷òî V2m,0 åñòü ëèíåéíàÿ ôîðìà ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè
îò ζ(2), ζ(4), . . . , ζ(2m).
Èçó÷åíèå èíòåãðàëîâ ýòîãî âèäà ïðîäîëæèë Ä.Â. Âàñèëüåâ.  ðàáîòå
[2] ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé áûëè óñòàíîâëåíû ðàâåíñòâà
V2k,0 = 2(1 − 2
1−2k
)ζ(2k), V2k+1,0 = 2ζ(2k + 1)
äëÿ âñå
8976454 04.05.2017 в 13:11
Написал(а): 2163546 положительный
Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ
òî÷êàõ
Íàïîìíèì, ÷òî äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà ζ(s) ïðè Re s > 1 îïðåäåëÿåòñÿ
ñëåäóþùèì ðÿäîì:
ζ(s) = X

n=1
1
ns
.
Îäíà èç ïðîáëåì òåîðèè òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë ñîñòîèò â òîì, ÷òî-
áû èçó÷èòü àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â
öåëûõ òî÷êàõ s > 2, ò.å. âûÿñíèòü, ÿâëÿþòñÿ ýòè ÷èñëà ðàöèîíàëüíûìè
èëè èððàöèîíàëüíûìè, àëãåáðàè÷åñêèìè èëè òðàíñöåíäåíòíûìè, à òàêæå
íàéòè âñå àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íèìè.
Åùå Ýéëåð ïîêàçàë, ÷òî â ÷åòíûõ òî÷êàõ äçåòà-ôóíêöèþ ìîæíî âû-
÷èñëèòü ÿâíî:
ζ(2n) = (−1)n−1
(2π)
2n
2(2n)!B2n,
ãäå B2n  ÷èñëà Áåðíóëëè, óäîâëåòâîðÿþùèå ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ
X
n
k=0

n + 1
k

Bk = 0, n > 1,
è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ B0 = 1.  1882 ã. Ëèíäåìàí äîêàçàë òðàíñöåíäåíò-
íîñòü ÷èñëà π. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íàòóðàëüíîì n ÷èñëî ζ(2n) òðàíñöåí-
1.1 Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ 5
äåíòíî.
Ñèòóàöèÿ ñ ÷èñëàìè ζ(2n+ 1) íàìíîãî áîëåå ñëîæíàÿ. Ïðîáëåìà àðèô-
ìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ýòèõ ÷èñåë ïîäíèìàëàñü åùå â 1934 ã. À.Î. Ãåëüôîíäîì
(ñì. çàêëþ÷åíèå â [4]). Ñóùåñòâóåò
Ãèïîòåçà. Ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n è äëÿ ëþáîãî íåíóëåâîãî ìíîãî÷ëå-
íà P(x0, . . . , xn) ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè âåðíî
P(π, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(2n + 1)) 6= 0.
Î÷åâèäíî, äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ãèïîòåçû ïîëíîñòüþ áû ðåøèëî ïðîáëåìó
àðèôìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ.
 ÷àñòíîñòè, èç ýòîé ãèïîòåçû ñëåäóåò òðàíñöåíäåíòíîñòü ÷èñåë ζ(2n+ 1).
Îäíàêî îíà äî ñèõ ïîð íå äîêàçàíà è íå îïðîâåðãíóòà.
Ïåðâûé øàã â èçó÷åíèè äçåòà-ôóíêöèè â íå÷åòíûõ òî÷êàõ ñäåëàë â
1978ã. Ð. Àïåðè [27], äîêàçàâ èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3). Âêðàòöå, åãî äîêà-
çàòåëüñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñòðîÿòñÿ äèîôàíòîâû ïðèáëèæåíèÿ ê
ζ(3),
unζ(3) − vn, n = 0, 1, 2, . . . , (1.1)
ãäå äëÿ un è vn âûïèñûâàþòñÿ ÿâíûå ôîðìóëû, èç êîòîðûõ ñëåäóåò, ÷òî
un ∈ Z è D3
n
vn ∈ Z (÷åðåç Dn îáîçíà÷åíî íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë
1, 2, . . . , n). Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâà îöåíêà
0 < |unζ(3) − vn| < c(

2 − 1)4n
. (1.2)
Óìíîæàÿ (1.2) íà D3
n
, ïîëó÷èì
0 < |D
3
nunζ(3) − D
3
n
vn| < cD3
n
(

2 − 1)4n
.
Òàê êàê Dn 6 3
n è 3
3
(

2 − 1)4 < 1, òî ïðàâàÿ ÷àñòü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè
n → ∞. Îòêóäà è ñëåäóåò èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3).
Òðàíñöåíäåíòíîñòü ζ(3) èëè èððàöèîíàëüíîñòü ζ(2n + 1) ïðè n > 2
ïîêà íå äîêàçàíà. Îäíàêî ïîñëå Àïåðè, ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ îáîáùåíèé,
áûëè äîêàçàíû èíòåðåñíûå ðåçóëüòàòû. Îòìåòèì, â ÷àñòíîñòè, ðåçóëüòàò
Ò. Ðèâîàëÿ [41] î áåñêîíå÷íîñòè ðàçìåðíîñòè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä
1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 6
Q, ïîðîæäåííîãî çíà÷åíèÿìè ζ(2n + 1), à òàêæå ðåçóëüòàò Â.Â. Çóäèëèíà
[11] îá èððàöèîíàëüíîñòè ïî êðàéíåé ìåðå îäíîãî èç ÷åòûðåõ ÷èñåë ζ(5),
ζ(7), ζ(9), ζ(11).
1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñè-
ìàöèé
Ïåðâûì, êòî ðàññìîòðåë êðàòíûå èíòåãðàëû â ñâÿçè äèîôàíòîâûìè
ïðèáëèæåíèÿìè, áûë Ê. Ìàëåð ([36]). Îí èñïîëüçîâàë èíòåãðàëû, êîòîðûå
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (ñì. [17])
Z
[0,1]m
Y
m
i=1
x
ai−1
i
(1 − xi)
bi−ai−1
(1 − zx1 · · · xi)
ci
dx1 · · · dxm
ïðè ñïåöèàëüíîì âûáîðå ïàðàìåòðîâ ai
, bi
, ci
, äëÿ îöåíêè ñâåðõó ëèíåéíûõ
ôîðì, ïðèáëèæàþùèõ çíà÷åíèÿ áèíîìîâ (1 − z)
ω
.
Ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà Àïåðè èððàöèîíàëüíîñòè ζ(3) Ô. Áåéêåðñ [29] â
1979ã. ïðåäëîæèë äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà
Z
[0,1]3
x
n
(1 − x)
n
y
n
(1 − y)
n
z
n
(1 − z)
n
(1 − z(1 − xy))n+1 dx dy dz. (1.3)
Ýòîò èíòåãðàë ðàâåí 2(unζ(3)−vn), ãäå un, vn  òå æå, ÷òî è â (1.1). Òàêæå
â [29] áûë ðàññìîòðåí èíòåãðàë
Z
[0,1]2
x
n
(1 − x)
n
y
n
(1 − y)
n
(1 − xy)
n+1 dx dy,
êîòîðûé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1, ζ(2) ñ ðà-
öèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ñ åãî ïîìîùüþ ìîæåò áûòü äîêàçàíà èð-
ðàöèîíàëüíîñòü ζ(2). Êîíå÷íî, èððàöèîíàëüíîñòü (è äàæå òðàíñöåíäåíò-
íîñòü) ÷èñëà ζ(2) = π
2/6 õîðîøî èçâåñòíà, îäíàêî ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëîâ
Áåéêåðñà è èíîãî âûáîðà èõ ïàðàìåòðîâ äîêàçàíû íàèëó÷øèå îöåíêè ïî-
êàçàòåëÿ èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñåë π
2 è ζ(3) (ñì. [39], [40]). Êàê îáû÷íî,
1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 7
ïîêàçàòåëü èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñëà α  ýòî íèæíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà ÷è-
ñåë µ, äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî




α −
p
q




6
1
q
µ
èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé â öåëûõ p è q ñ q > 0.
Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ïîïûòêè îáîáùåíèÿ èíòåãðàëîâ Áåéêåðñà ñ öå-
ëüþ èçó÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè â öåëûõ òî÷êàõ. Ïåðâàÿ èç íèõ áûëà â 1990ã.
[1] ïðåäïðèíÿòà Î.Í. Âàñèëåíêî, êîòîðûé ðàññìîòðåë èíòåãðàëû
Vm,n =
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
n
i
(1 − xi)
n dx1dx2 . . . dxm
(1 − x1 + x1x2 − · · · + (−1)mx1x2 · · · xm)
n+1 . (1.4)
Èíòåãðàëû V2,n è V3,n (ïîñëå çàìåíû x3 → 1 − x3) ñîâïàäàþò ñ èíòåãðàëà-
ìè Áåéêåðñà. Âàñèëåíêî àíîíñèðîâàë íåêîòîðûå òîæäåñòâà, âûðàæàþùèå
ðåêóððåíòíî Vm,0 ÷åðåç Vm−2k,0, 1 6 k 6
m
2
, è êðàòíûå äçåòà-çíà÷åíèÿ
ζ(s1, . . . , sk) = X
n1>n2>···>nk>1
1
n
s1
1
. . . n
sk
k
.
Ýòî ïîçâîëèëî åìó äîêàçàòü, ÷òî V3,0 = 2ζ(3), V5,0 = 2ζ(5), à òàêæå óñòàíî-
âèòü, ÷òî V2m,0 åñòü ëèíåéíàÿ ôîðìà ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè
îò ζ(2), ζ(4), . . . , ζ(2m).
Èçó÷åíèå èíòåãðàëîâ ýòîãî âèäà ïðîäîëæèë Ä.Â. Âàñèëüåâ.  ðàáîòå
[2] ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé áûëè óñòàíîâëåíû ðàâåíñòâà
V2k,0 = 2(1 − 2
1−2k
)ζ(2k), V2k+1,0 = 2ζ(2k + 1)
äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ k. Äàëåå, â [3] Âàñèëüåâ äîêàçàë, ÷òî ïðè m = 4
è m = 5 èíòåãðàë (1.4) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíûõ ôîðì ñ ðàöèî-
íàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè îò 1, ζ(2), ζ(4) è 1, ζ(3), ζ(5) ñîîòâåòñòâåííî.
Âàñèëüåâ òàêæå ïðåäïîëîæèë, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîì íå÷åòíîì m > 3, èí-
òåãðàë ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1, ζ(3), ζ(5),. . . , ζ(m)
ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, à ïðè íå÷åòíîì m çíàìåíàòåëè ýòèõ
êîýôôèöèåíòîâ äåëÿò Dm
n
. Åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì (1.4) ÿâëÿåòñÿ èíòå-
1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 8
ãðàë
V (z) = Vm

a0, a1, a2, . . . , am
b1, b2, . . . , bm
; z

=
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai−1
i
(1 − xi)
bi−ai−1
(1 − zx1 + zx1x2 − · · · + (−1)mzx1x2 · · · xm)
a0
dx1dx2 . . . dxm.
Â.Â. Çóäèëèí â [10] äîêàçàë, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ íà ïàðàìåò-
ðû, èíòåãðàë V (1) ðàâåí çíà÷åíèþ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè â òî÷êå
z = 1, ÷òî äîêàçûâàëî ïðåäñòàâëåíèå V (1) â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1
è ζ(k), ãäå k  öåëûå ÷èñëà òîé æå ÷åòíîñòè, ÷òî è m, 1 < k 6 m. Òåì
ñàìûì ãèïîòåçà Âàñèëüåâà, çà èñêëþ÷åíèåì óòâåðæäåíèÿ î çíàìåíàòåëÿõ
êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîé ôîðìû, áûëà äîêàçàíà. Îöåíêà æå çíàìåíàòåëÿ
ïðè íå÷åòíîì m = 2l + 1 â [10] áûëà õóæå ïðåäïîëàãàåìîé. Òî, ÷òî çíàìå-
íàòåëè êîýôôèöèåíòîâ äåëÿò D2l+1
n ïðè ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîì ïðåäñòàâëå-
íèè ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé çàäà÷åé, êîòîðàÿ áûëà ðåøåíà íåäàâíî Ðèâîàëåì è
Êðàòòåíòàëåðîì ([35, Theoreme
1]). Ãèïîòåçà Âàñèëüåâà áóäåò ïîëíîñòüþ
äîêàçàíà â ðàçäåëå 3.6 áåç èñïîëüçîâàíèÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî ïðåäñòàâ-
ëåíèÿ V2l+1,n.
 1998ã. Â.Í. Ñîðîêèí [20] îïóáëèêîâàë èíîå äîêàçàòåëüñòâî èððàöèî-
íàëüíîñòè ζ(3), èñïîëüçóþùåå èíòåãðàë
Z
[0,1]3
x
n
1
(1 − x1)
nx
n
2
(1 − x2)
nx
n
3
(1 − x3)
n
(1 − x1x2)
n+1(1 − x1x2x3)
n+1 dx1dx2dx3. (1.5)
Îêàçûâàåòñÿ, ïîñëåäíèé èíòåãðàë ðàâåí èíòåãðàëó Áåéêåðñà (1.3) (è èíòå-
ãðàëó (1.4) ïðè m = 3). Ýòîò ôàêò íåçàâèñèìî ïîêàçàí Ñ. Ôèøëåðîì ([31])
è àâòîðîì (ñì. ñëåäñòâèå 2.2).
Èíòåãðàëû òîãî æå òèïà
Z
[0,1]2l
Q2l
i=1 x
n−δ
i
(1 − xi)
n
Ql
j=1(
z
x1x2...x2j−2
− x2j−1x2j )
n+1
dx1dx2 . . . dx2l
èñïîëüçîâàëèñü â [21] äëÿ îöåíêè ìåðû òðàíñöåíäåíòíîñòè π
2
. Â äèññåðòà-
öèîííîé ðàáîòå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëåäóþùåå îáîáùåíèå èíòåãðàëîâ
Ñîðîêèíà:
1.3 Îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû è êðàòíûå äçåòà-ôóíêöèè 9
S(z) = Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai−1
i
(1 − xi)
bi−ai−1
Ql
j=1(1 − zx1x2 . . . xrj
)
cj
dx1dx2 . . . dxm,
0 = r0 < r1 < r2 < · · · < rl = m. (1.6)
1.3 Îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû è êðàòíûå
äçåòà-ôóíêöèè
 ðàáîòå áîëüøóþ ðîëü èãðàþò îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû, îïðåäå-
ëÿåìûå ðàâåíñòâàìè
Li~s(z) = X
n1>n2>···>nl>1
z
n1
n
s1
1 n
s2
2
. . . n
sl
l
,
Le~s(z) = X
n1>n2>...>nl>1
z
n1
n
s1
1 n
s2
2
. . . n
sl
l
,
ãäå ~s = (s1, s2, . . . , sl)  âåêòîð ñ íàòóðàëüíûìè êîìïîíåíòàìè. Â äàëüíåé-
øåì áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëèíà l(~s) âåêòîðà ~s  êîëè÷åñòâî åãî êîîðäèíàò
è âåñ w(~s)  èõ ñóììà. Ðÿäû, îïðåäåëÿþùèå îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû,
ñõîäÿòñÿ ïðè |z| < 1. Ôóíêöèè Le~s(z) è Li~s(z) ìîãóò áûòü ëèíåéíî âûðà-
æåíû äðóã ÷åðåç äðóãà. À èìåííî (ñì. [23]):
Les1,...,sl
(z) = X
~p
Li~p(z), Lis1,...,sl
(z) = X
~p
(−1)α(~p) Le~p(z),
ãäå ~p ïðîáåãàåò âñå âåêòîðà âèäà (s1 ∗ s2 ∗ · · · ∗ sl). Çíàê '*' ìîæåò áûòü
ëèáî çíàêîì '+', ëèáî çíàêîì ',', à α(~p) ðàâíÿåòñÿ êîëè÷åñòâó çíàêîâ '+'.
Äëÿ óäîáñòâà ïîëîæèì Li∅(z) = Le∅(z) = 1. Ïðè l = 1 îáîáùåííûå ïîëè-
ëîãàðèôìû ïðåâðàùàþòñÿ â êëàññè÷åñêèå ïîëèëîãàðèôìû:
Lis(z) = Les(z) = X

n=1
z
n
ns
.
Ñ îáîáùåííûìè ïîëèëîãàðèôìàìè òåñíî ñâÿçàíî ïîíÿòèå êðàòíîé
äçåòà-ôóíêöèè:
ζ(s1, s2, . . . , sl) = X
n1>n2>···>nl>1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
,
1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè 10
ζe(s1, s2, . . . , sl) = X
n1>n2>···>nl>1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Ýòè ðÿäû ñõîäÿòñÿ ïðè íàòóðàëüíûõ sj è óñëîâèè s1 > 1 (åñëè s1 = 1, òî
ðÿä ðàñõîäèòñÿ).  ýòîì ñëó÷àå èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
ζ(s1, s2, . . . , sl) = Lis1,s2,...,sl
(1), ζe(s1, s2, . . . , sl) = Les1,s2,...,sl
(1).
Åñòåñòâåííî, êàê è ó îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ, ïðè ôèêñèðîâàííûõ
s1, s2, . . . , sl
, çíà÷åíèå ζe(s1, s2, . . . , sl) âûðàæàåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáè-
íàöèè çíà÷åíèé ζ îò âåêòîðîâ òîãî æå âåñà, ÷òî è ~s, è íàîáîðîò. Çíà÷å-
íèÿ ôóíêöèè ζ(s1, s2, . . . , sl) äîâîëüíî õîðîøî èçó÷åíû, ìåæäó íèìè ñó-
ùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ëèíåéíûå è àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ. Çíà÷åíèÿ
æå ζe(s1, s2, . . . , sl) (îáîçíà÷åíèå íå ÿâëÿåòñÿ ïðèíÿòûì) ïîêà ÷òî îñòàþòñÿ
áîëüøå â òåíè. Îäíàêî, ñêàæåì, ðàâåíñòâî ζe({2}k, 1) = 2ζ(2k + 1) ìîæåò
áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ èçó÷åíèÿ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â íå÷åò-
íûõ òî÷êàõ. Çäåñü è äàëåå, {a}k îçíà÷àåò k ðàç ïîâòîðåííîå ÷åðåç çàïÿòóþ
÷èñëî a. Ïðè l = 1 îáà âàðèàíòà êðàòíîé äçåòà-ôóíêöèè ïðåâðàùàþòñÿ â
îáû÷íóþ äçåòà-ôóíêöèþ Ðèìàíà.
1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè
Îêàçûâàåòñÿ, èíòåãðàë V (z), ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ïàðàìåò-
ðû ìîæåò áûòü ñâåäåí ê S(z). Ìû óñòàíîâèì ýòî â ðàçäåëå 2.1, äîêàçàâ
áîëåå îáùåå òîæäåñòâî.
Ïóñòü äàíû íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1 6 r1 < r2 < · · · < rl = m, r0 =
0 è êîìïëåêñíûå ÷èñëà a0 è ai
, bi
, 1 6 i 6 m. Îïðåäåëèì ìíîãî÷ëåíû
Qj (z, x1, x2, . . . , xm), 1 6 j 6 l:
Q0 = 1, Qj (z, x1, x2, . . . , xm) = Qj−1(z, x1, x2, . . . , xm)−z(1−xrj
)
Y
16ixi
,
ìíîæåñòâî S è ÷èñëà ci
:
S = {rj
|1 6 j 6 l}, ci =
(
ai
, åñëè i /∈ S,
arj−1
, åñëè i = rj ∈ S.
1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè 11
Òîãäà ñïðàâåäëèâà
Teopeìà 2.1. Ïóñòü Re(a0) > 0, Re(bi) > Re(ai) > 0 ïðè 1 6 i 6 m,
Re(bi) > Re(ci) ïðè i ∈ S. Òîãäà ïðè z ∈ C, |z| < 1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ai−1
i
(1 − xi)
bi−ai−1
Ql(z, x1, x2, . . . , xm)
a0
dx
=
Γ(am)
Γ(a0)
Y
i∈S
Γ(bi − ai)
Γ(bi − ci)
Z
[0,1]m
Qm
i=1 x
ci−1
i
(1 − xi)
bi−ci−1
Q
i∈S
(1 − zx1 . . . xi)
bi−ai
dx,
ãäå dx = dx1dx2 · · · dxm è îáà èíòåãðàëà ñõîäÿòñÿ.
Èç ýòîãî èíòåãðàëüíîãî òîæäåñòâà âûòåêàåò ðàâåíñòâî èíòåãðàëà V (z)
èíòåãðàëó âèäà S(z). Ýòîò ðåçóëüòàò ôîðìóëèðóåòñÿ â âèäå äâóõ òåîðåì â
çàâèñèìîñòè îò ÷åòíîñòè ðàçìåðíîñòè èíòåãðàëà V (z).
Teopeìà 2.3. Ïóñòü Re(a0) > 0, Re(bi) > Re(ai) > 0 ïðè 1 6 i 6
2l + 1, Re(b2j ) > Re(a2j−2) ïðè 1 6 j 6 l, Re(b2l+1) > Re(a2l). Òîãäà ïðè
|z| < 1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
V2l+1 
a0, a1, a2, . . . , a2l+1
b1, b2, . . . , b2l+1
; z

=
Γ(a2l+1)
Γ(a0)
Γ(b2l+1 − a2l+1)
Γ(b2l+1 − a2l)
Y
l
j=1
Γ(b2j
левыяе аппараты 03.05.2017 в 12:34
Написал(а): Алексей отрицательный
Хотел купить Benq, сказали этого в наличии нет, есть лучше Ledminox.
Я не притязательный и этот проектор первый. работал себе нормально неделю - две. Потом перестал показывать. Поехал в сервис по адресу на гарантийном талоне, тк по тел неделю нельзя прозвониться. По указанному адресу сервиса нет. поехал в в офис Ledminox. На сайте указан тк по тел тоже нельзя прозвониться - такой фирмы по этому адресу никогда не было.Обещали сделать обмен возврат. тишина второй день, к моему тел никто не подходит, с др номеров прозвониться можно... Делайте выводы сами. У меня нерабочий аппарат, нет концов куда его сдать/поменять
Заказ в hdmir (2) 24.04.2017 в 10:54
Написал(а): Кристина положительный
(интернет упал, не дописала)

Рассказали про вес, качества, характеристики, очень вежливые ребята! Доставка так же порадовала, даже не верится, что еще остались такие приятные интернет-магазины без предоплат и разводов, но с хорошими ценами!
Заказ в hdmir 24.04.2017 в 10:50
Написал(а): Кристина положительный
Нужен был проектор, который коннектился бы по вай фаю с телефоном.
В общем такую модель помогли подобрать, (пиарить не буду сам продукт, речь о магазине). Рассказали про вес,
у них дешевле чем на яндекс маркете 19.04.2017 в 17:03
Написал(а): Валентин положительный
У них дешевле чем на яндекс маркете! Я не знаю каким образом они этого достигли, но система доставки, оплаты отлично налажена! Не подделки
Спасибо за помощь в покупке! 18.04.2017 в 17:22
Написал(а): Владимир положительный
Организовали все четко!
Немного пришлось поспорить с курьером, но это обычное дело при доставках!
Спасибо!
HDmir 18.04.2017 в 12:03
Написал(а): Мария положительный
Прекрасное приобретение в дом! Сразу все фильмы приобрели особенный шарм при просмотре!
Что касается магазина, быстрая доставка, грамотные консультации - что еще надо?)
Нормуль 17.04.2017 в 10:23
Написал(а): Клиент HDmir' a положительный
В субботу привезли проектор, нужен был прям в срок.
Никто не опоздал, менеджеры не отправляли "висеть" на телефоне (жутко это не люблю).
Все сложилось как нужно!
Страницы:   1 2 3
» Добавить отзыв о hdmir.ru

Яндекс.Метрика