Помогите нам улучшить качество нашего сайта.
Если по указанному адресу в интернет:
1. Сайт не работает
2. Находится сайт не соотвествующий описанию
пожалуйста, отправьте нам письмо с сообщением об этом (кликните по ссылке).
Спасибо! Вместе мы сделаем этот сайт лучше!
E-Mail
info@hdmir.ru
Телефон
+7 (499) 553-06-02
Наша компания надежный поставщик видеорегистраторов, мы предлагаем широкий ассортимент товаров в различной ценовой политике и с различными техническими характеристиками. Наша команда на протяжении многих лет занимается поставками видеорегистраторов во все уголки России. Тысячи довольных покупателей уже оценили нашу слаженную работу и отличное состояние товаров. Мы поставляем продукцию напрямую от производителей, работаем без посредников. Для оперативного решения проблем с техникой мы открыли свои сервисные центры по всей России.
Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ Íàïîìíèì, ÷òî äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà ζ(s) ïðè Re s > 1 îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì ðÿäîì: ζ(s) = X ∞ n=1 1 ns . Îäíà èç ïðîáëåì òåîðèè òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë ñîñòîèò â òîì, ÷òî- áû èçó÷èòü àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ s > 2, ò.å. âûÿñíèòü, ÿâëÿþòñÿ ýòè ÷èñëà ðàöèîíàëüíûìè èëè èððàöèîíàëüíûìè, àëãåáðàè÷åñêèìè èëè òðàíñöåíäåíòíûìè, à òàêæå íàéòè âñå àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íèìè. Åùå Ýéëåð ïîêàçàë, ÷òî â ÷åòíûõ òî÷êàõ äçåòà-ôóíêöèþ ìîæíî âû- ÷èñëèòü ÿâíî: ζ(2n) = (−1)n−1 (2π) 2n 2(2n)!B2n, ãäå B2n ÷èñëà Áåðíóëëè, óäîâëåòâîðÿþùèå ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ X n k=0
n + 1 k
Bk = 0, n > 1, è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ B0 = 1.  1882 ã. Ëèíäåìàí äîêàçàë òðàíñöåíäåíò- íîñòü ÷èñëà π. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íàòóðàëüíîì n ÷èñëî ζ(2n) òðàíñöåí- 1.1 Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ 5 äåíòíî. Ñèòóàöèÿ ñ ÷èñëàìè ζ(2n+ 1) íàìíîãî áîëåå ñëîæíàÿ. Ïðîáëåìà àðèô- ìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ýòèõ ÷èñåë ïîäíèìàëàñü åùå â 1934 ã. À.Î. Ãåëüôîíäîì (ñì. çàêëþ÷åíèå â [4]). Ñóùåñòâóåò Ãèïîòåçà. Ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n è äëÿ ëþáîãî íåíóëåâîãî ìíîãî÷ëå- íà P(x0, . . . , xn) ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè âåðíî P(π, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(2n + 1)) 6= 0. Î÷åâèäíî, äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ãèïîòåçû ïîëíîñòüþ áû ðåøèëî ïðîáëåìó àðèôìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ.  ÷àñòíîñòè, èç ýòîé ãèïîòåçû ñëåäóåò òðàíñöåíäåíòíîñòü ÷èñåë ζ(2n+ 1). Îäíàêî îíà äî ñèõ ïîð íå äîêàçàíà è íå îïðîâåðãíóòà. Ïåðâûé øàã â èçó÷åíèè äçåòà-ôóíêöèè â íå÷åòíûõ òî÷êàõ ñäåëàë â 1978ã. Ð. Àïåðè [27], äîêàçàâ èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3). Âêðàòöå, åãî äîêà- çàòåëüñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñòðîÿòñÿ äèîôàíòîâû ïðèáëèæåíèÿ ê ζ(3), unζ(3) − vn, n = 0, 1, 2, . . . , (1.1) ãäå äëÿ un è vn âûïèñûâàþòñÿ ÿâíûå ôîðìóëû, èç êîòîðûõ ñëåäóåò, ÷òî un ∈ Z è D3 n vn ∈ Z (÷åðåç Dn îáîçíà÷åíî íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë 1, 2, . . . , n). Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâà îöåíêà 0 < |unζ(3) − vn| < c( √ 2 − 1)4n . (1.2) Óìíîæàÿ (1.2) íà D3 n , ïîëó÷èì 0 < |D 3 nunζ(3) − D 3 n vn| < cD3 n ( √ 2 − 1)4n . Òàê êàê Dn 6 3 n è 3 3 ( √ 2 − 1)4 < 1, òî ïðàâàÿ ÷àñòü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞. Îòêóäà è ñëåäóåò èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3). Òðàíñöåíäåíòíîñòü ζ(3) èëè èððàöèîíàëüíîñòü ζ(2n + 1) ïðè n > 2 ïîêà íå äîêàçàíà. Îäíàêî ïîñëå Àïåðè, ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ îáîáùåíèé, áûëè äîêàçàíû èíòåðåñíûå ðåçóëüòàòû. Îòìåòèì, â ÷àñòíîñòè, ðåçóëüòàò Ò. Ðèâîàëÿ [41] î áåñêîíå÷íîñòè ðàçìåðíîñòè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä 1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 6 Q, ïîðîæäåííîãî çíà÷åíèÿìè ζ(2n + 1), à òàêæå ðåçóëüòàò Â.Â. Çóäèëèíà [11] îá èððàöèîíàëüíîñòè ïî êðàéíåé ìåðå îäíîãî èç ÷åòûðåõ ÷èñåë ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11). 1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñè- ìàöèé Ïåðâûì, êòî ðàññìîòðåë êðàòíûå èíòåãðàëû â ñâÿçè äèîôàíòîâûìè ïðèáëèæåíèÿìè, áûë Ê. Ìàëåð ([36]). Îí èñïîëüçîâàë èíòåãðàëû, êîòîðûå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (ñì. [17]) Z [0,1]m Y m i=1 x ai−1 i (1 − xi) bi−ai−1 (1 − zx1 · · · xi) ci dx1 · · · dxm ïðè ñïåöèàëüíîì âûáîðå ïàðàìåòðîâ ai , bi , ci , äëÿ îöåíêè ñâåðõó ëèíåéíûõ ôîðì, ïðèáëèæàþùèõ çíà÷åíèÿ áèíîìîâ (1 − z) ω . Ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà Àïåðè èððàöèîíàëüíîñòè ζ(3) Ô. Áåéêåðñ [29] â 1979ã. ïðåäëîæèë äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Z [0,1]3 x n (1 − x) n y n (1 − y) n z n (1 − z) n (1 − z(1 − xy))n+1 dx dy dz. (1.3) Ýòîò èíòåãðàë ðàâåí 2(unζ(3)−vn), ãäå un, vn òå æå, ÷òî è â (1.1). Òàêæå â [29] áûë ðàññìîòðåí èíòåãðàë Z [0,1]2 x n (1 − x) n y n (1 − y) n (1 − xy) n+1 dx dy, êîòîðûé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1, ζ(2) ñ ðà- öèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ñ åãî ïîìîùüþ ìîæåò áûòü äîêàçàíà èð- ðàöèîíàëüíîñòü ζ(2). Êîíå÷íî, èððàöèîíàëüíîñòü (è äàæå òðàíñöåíäåíò- íîñòü) ÷èñëà ζ(2) = π 2/6 õîðîøî èçâåñòíà, îäíàêî ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëîâ Áåéêåðñà è èíîãî âûáîðà èõ ïàðàìåòðîâ äîêàçàíû íàèëó÷øèå îöåíêè ïî- êàçàòåëÿ èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñåë π 2 è ζ(3) (ñì. [39], [40]). Êàê îáû÷íî, 1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 7 ïîêàçàòåëü èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñëà α ýòî íèæíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà ÷è- ñåë µ, äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî
α − p q
6 1 q µ èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé â öåëûõ p è q ñ q > 0. Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ïîïûòêè îáîáùåíèÿ èíòåãðàëîâ Áåéêåðñà ñ öå- ëüþ èçó÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè â öåëûõ òî÷êàõ. Ïåðâàÿ èç íèõ áûëà â 1990ã. [1] ïðåäïðèíÿòà Î.Í. Âàñèëåíêî, êîòîðûé ðàññìîòðåë èíòåãðàëû Vm,n = Z [0,1]m Qm i=1 x n i (1 − xi) n dx1dx2 . . . dxm (1 − x1 + x1x2 − · · · + (−1)mx1x2 · · · xm) n+1 . (1.4) Èíòåãðàëû V2,n è V3,n (ïîñëå çàìåíû x3 → 1 − x3) ñîâïàäàþò ñ èíòåãðàëà- ìè Áåéêåðñà. Âàñèëåíêî àíîíñèðîâàë íåêîòîðûå òîæäåñòâà, âûðàæàþùèå ðåêóððåíòíî Vm,0 ÷åðåç Vm−2k,0, 1 6 k 6 m 2 , è êðàòíûå äçåòà-çíà÷åíèÿ ζ(s1, . . . , sk) = X n1>n2>···>nk>1 1 n s1 1 . . . n sk k . Ýòî ïîçâîëèëî åìó äîêàçàòü, ÷òî V3,0 = 2ζ(3), V5,0 = 2ζ(5), à òàêæå óñòàíî- âèòü, ÷òî V2m,0 åñòü ëèíåéíàÿ ôîðìà ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè îò ζ(2), ζ(4), . . . , ζ(2m). Èçó÷åíèå èíòåãðàëîâ ýòîãî âèäà ïðîäîëæèë Ä.Â. Âàñèëüåâ.  ðàáîòå [2] ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé áûëè óñòàíîâëåíû ðàâåíñòâà V2k,0 = 2(1 − 2 1−2k )ζ(2k), V2k+1,0 = 2ζ(2k + 1) äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ k. Äàëåå, â [3] Âàñèëüåâ äîêàçàë, ÷òî ïðè m = 4 è m = 5 èíòåãðàë (1.4) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíûõ ôîðì ñ ðàöèî- íàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè îò 1, ζ(2), ζ(4) è 1, ζ(3), ζ(5) ñîîòâåòñòâåííî. Âàñèëüåâ òàêæå ïðåäïîëîæèë, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîì íå÷åòíîì m > 3, èí- òåãðàë ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1, ζ(3), ζ(5),. . . , ζ(m) ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, à ïðè íå÷åòíîì m çíàìåíàòåëè ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ äåëÿò Dm n . Åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì (1.4) ÿâëÿåòñÿ èíòå- 1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 8 ãðàë V (z) = Vm
a0, a1, a2, . . . , am b1, b2, . . . , bm ; z
= Z [0,1]m Qm i=1 x ai−1 i (1 − xi) bi−ai−1 (1 − zx1 + zx1x2 − · · · + (−1)mzx1x2 · · · xm) a0 dx1dx2 . . . dxm. Â.Â. Çóäèëèí â [10] äîêàçàë, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ íà ïàðàìåò- ðû, èíòåãðàë V (1) ðàâåí çíà÷åíèþ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè â òî÷êå z = 1, ÷òî äîêàçûâàëî ïðåäñòàâëåíèå V (1) â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1 è ζ(k), ãäå k öåëûå ÷èñëà òîé æå ÷åòíîñòè, ÷òî è m, 1 < k 6 m. Òåì ñàìûì ãèïîòåçà Âàñèëüåâà, çà èñêëþ÷åíèåì óòâåðæäåíèÿ î çíàìåíàòåëÿõ êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîé ôîðìû, áûëà äîêàçàíà. Îöåíêà æå çíàìåíàòåëÿ ïðè íå÷åòíîì m = 2l + 1 â [10] áûëà õóæå ïðåäïîëàãàåìîé. Òî, ÷òî çíàìå- íàòåëè êîýôôèöèåíòîâ äåëÿò D2l+1 n ïðè ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîì ïðåäñòàâëå- íèè ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé çàäà÷åé, êîòîðàÿ áûëà ðåøåíà íåäàâíî Ðèâîàëåì è Êðàòòåíòàëåðîì ([35, Theoreme 1]). Ãèïîòåçà Âàñèëüåâà áóäåò ïîëíîñòüþ äîêàçàíà â ðàçäåëå 3.6 áåç èñïîëüçîâàíèÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî ïðåäñòàâ- ëåíèÿ V2l+1,n.  1998ã. Â.Í. Ñîðîêèí [20] îïóáëèêîâàë èíîå äîêàçàòåëüñòâî èððàöèî- íàëüíîñòè ζ(3), èñïîëüçóþùåå èíòåãðàë Z [0,1]3 x n 1 (1 − x1) nx n 2 (1 − x2) nx n 3 (1 − x3) n (1 − x1x2) n+1(1 − x1x2x3) n+1 dx1dx2dx3. (1.5) Îêàçûâàåòñÿ, ïîñëåäíèé èíòåãðàë ðàâåí èíòåãðàëó Áåéêåðñà (1.3) (è èíòå- ãðàëó (1.4) ïðè m = 3). Ýòîò ôàêò íåçàâèñèìî ïîêàçàí Ñ. Ôèøëåðîì ([31]) è àâòîðîì (ñì. ñëåäñòâèå 2.2). Èíòåãðàëû òîãî æå òèïà Z [0,1]2l Q2l i=1 x n−δ i (1 − xi) n Ql j=1( z x1x2...x2j−2 − x2j−1x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l èñïîëüçîâàëèñü â [21] äëÿ îöåíêè ìåðû òðàíñöåíäåíòíîñòè π 2 .  äèññåðòà- öèîííîé ðàáîòå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëåäóþùåå îáîáùåíèå èíòåãðàëîâ Ñîðîêèíà: 1.3 Îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû è êðàòíûå äçåòà-ôóíêöèè 9 S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai−1 i (1 − xi) bi−ai−1 Ql j=1(1 − zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 < r1 < r2 < · · · < rl = m. (1.6) 1.3 Îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû è êðàòíûå äçåòà-ôóíêöèè  ðàáîòå áîëüøóþ ðîëü èãðàþò îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû, îïðåäå- ëÿåìûå ðàâåíñòâàìè Li~s(z) = X n1>n2>···>nl>1 z n1 n s1 1 n s2 2 . . . n sl l , Le~s(z) = X n1>n2>...>nl>1 z n1 n s1 1 n s2 2 . . . n sl l , ãäå ~s = (s1, s2, . . . , sl) âåêòîð ñ íàòóðàëüíûìè êîìïîíåíòàìè.  äàëüíåé- øåì áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëèíà l(~s) âåêòîðà ~s êîëè÷åñòâî åãî êîîðäèíàò è âåñ w(~s) èõ ñóììà. Ðÿäû, îïðåäåëÿþùèå îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû, ñõîäÿòñÿ ïðè |z| < 1. Ôóíêöèè Le~s(z) è Li~s(z) ìîãóò áûòü ëèíåéíî âûðà- æåíû äðóã ÷åðåç äðóãà. À èìåííî (ñì. [23]): Les1,...,sl (z) = X ~p Li~p(z), Lis1,...,sl (z) = X ~p (−1)α(~p) Le~p(z), ãäå ~p ïðîáåãàåò âñå âåêòîðà âèäà (s1 ∗ s2 ∗ · · · ∗ sl). Çíàê '*' ìîæåò áûòü ëèáî çíàêîì '+', ëèáî çíàêîì ',', à α(~p) ðàâíÿåòñÿ êîëè÷åñòâó çíàêîâ '+'. Äëÿ óäîáñòâà ïîëîæèì Li∅(z) = Le∅(z) = 1. Ïðè l = 1 îáîáùåííûå ïîëè- ëîãàðèôìû ïðåâðàùàþòñÿ â êëàññè÷åñêèå ïîëèëîãàðèôìû: Lis(z) = Les(z) = X ∞ n=1 z n ns . Ñ îáîáùåííûìè ïîëèëîãàðèôìàìè òåñíî ñâÿçàíî ïîíÿòèå êðàòíîé äçåòà-ôóíêöèè: ζ(s1, s2, . . . , sl) = X n1>n2>···>nl>1 1 n s1 1 · · · n sl l , 1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè 10 ζe(s1, s2, . . . , sl) = X n1>n2>···>nl>1 1 n s1 1 · · · n sl l . Ýòè ðÿäû ñõîäÿòñÿ ïðè íàòóðàëüíûõ sj è óñëîâèè s1 > 1 (åñëè s1 = 1, òî ðÿä ðàñõîäèòñÿ).  ýòîì ñëó÷àå èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ζ(s1, s2, . . . , sl) = Lis1,s2,...,sl (1), ζe(s1, s2, . . . , sl) = Les1,s2,...,sl (1). Åñòåñòâåííî, êàê è ó îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ, ïðè ôèêñèðîâàííûõ s1, s2, . . . , sl , çíà÷åíèå ζe(s1, s2, . . . , sl) âûðàæàåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáè- íàöèè çíà÷åíèé ζ îò âåêòîðîâ òîãî æå âåñà, ÷òî è ~s, è íàîáîðîò. Çíà÷å- íèÿ ôóíêöèè ζ(s1, s2, . . . , sl) äîâîëüíî õîðîøî èçó÷åíû, ìåæäó íèìè ñó- ùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ëèíåéíûå è àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ. Çíà÷åíèÿ æå ζe(s1, s2, . . . , sl) (îáîçíà÷åíèå íå ÿâëÿåòñÿ ïðèíÿòûì) ïîêà ÷òî îñòàþòñÿ áîëüøå â òåíè. Îäíàêî, ñêàæåì, ðàâåíñòâî ζe({2}k, 1) = 2ζ(2k + 1) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ èçó÷åíèÿ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â íå÷åò- íûõ òî÷êàõ. Çäåñü è äàëåå, {a}k îçíà÷àåò k ðàç ïîâòîðåííîå ÷åðåç çàïÿòóþ ÷èñëî a. Ïðè l = 1 îáà âàðèàíòà êðàòíîé äçåòà-ôóíêöèè ïðåâðàùàþòñÿ â îáû÷íóþ äçåòà-ôóíêöèþ Ðèìàíà. 1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè Îêàçûâàåòñÿ, èíòåãðàë V (z), ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ïàðàìåò- ðû ìîæåò áûòü ñâåäåí ê S(z). Ìû óñòàíîâèì ýòî â ðàçäåëå 2.1, äîêàçàâ áîëåå îáùåå òîæäåñòâî. Ïóñòü äàíû íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1 6 r1 < r2 < · · · < rl = m, r0 = 0 è êîìïëåêñíûå ÷èñëà a0 è ai , bi , 1 6 i 6 m. Îïðåäåëèì ìíîãî÷ëåíû Qj (z, x1, x2, . . . , xm), 1 6 j 6 l: Q0 = 1, Qj (z, x1, x2, . . . , xm) = Qj−1(z, x1, x2, . . . , xm)−z(1−xrj ) Y 16ixi , ìíîæåñòâî S è ÷èñëà ci : S = {rj |1 6 j 6 l}, ci = ( ai , åñëè i /∈ S, arj−1 , åñëè i = rj ∈ S. 1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè 11 Òîãäà ñïðàâåäëèâà Teopeìà 2.1. Ïóñòü Re(a0) > 0, Re(bi) > Re(ai) > 0 ïðè 1 6 i 6 m, Re(bi) > Re(ci) ïðè i ∈ S. Òîãäà ïðè z ∈ C, |z| < 1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî Z [0,1]m Qm i=1 x ai−1 i (1 − xi) bi−ai−1 Ql(z, x1, x2, . . . , xm) a0 dx = Γ(am) Γ(a0) Y i∈S Γ(bi − ai) Γ(bi − ci) Z [0,1]m Qm i=1 x ci−1 i (1 − xi) bi−ci−1 Q i∈S (1 − zx1 . . . xi) bi−ai dx, ãäå dx = dx1dx2 · · · dxm è îáà èíòåãðàëà ñõîäÿòñÿ. Èç ýòîãî èíòåãðàëüíîãî òîæäåñòâà âûòåêàåò ðàâåíñòâî èíòåãðàëà V (z) èíòåãðàëó âèäà S(z). Ýòîò ðåçóëüòàò ôîðìóëèðóåòñÿ â âèäå äâóõ òåîðåì â çàâèñèìîñòè îò ÷åòíîñòè ðàçìåðíîñòè èíòåãðàëà V (z). Teopeìà 2.3. Ïóñòü Re(a0) > 0, Re(bi) > Re(ai) > 0 ïðè 1 6 i 6 2l + 1, Re(b2j ) > Re(a2j−2) ïðè 1 6 j 6 l, Re(b2l+1) > Re(a2l). Òîãäà ïðè |z| < 1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî V2l+1 a0, a1, a2, . . . , a2l+1 b1, b2, . . . , b2l+1 ; z
= Γ(a2l+1) Γ(a0) Γ(b2l+1 − a2l+1) Γ(b2l+1 − a2l) Y l j=1 Γ(b2j Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ Íàïîìíèì, ÷òî äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà ζ(s) ïðè Re s > 1 îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì ðÿäîì: ζ(s) = X ∞ n=1 1 ns . Îäíà èç ïðîáëåì òåîðèè òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë ñîñòîèò â òîì, ÷òî- áû èçó÷èòü àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ s > 2, ò.å. âûÿñíèòü, ÿâëÿþòñÿ ýòè ÷èñëà ðàöèîíàëüíûìè èëè èððàöèîíàëüíûìè, àëãåáðàè÷åñêèìè èëè òðàíñöåíäåíòíûìè, à òàêæå íàéòè âñå àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íèìè. Åùå Ýéëåð ïîêàçàë, ÷òî â ÷åòíûõ òî÷êàõ äçåòà-ôóíêöèþ ìîæíî âû- ÷èñëèòü ÿâíî: ζ(2n) = (−1)n−1 (2π) 2n 2(2n)!B2n, ãäå B2n ÷èñëà Áåðíóëëè, óäîâëåòâîðÿþùèå ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ X n k=0
n + 1 k
Bk = 0, n > 1, è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ B0 = 1.  1882 ã. Ëèíäåìàí äîêàçàë òðàíñöåíäåíò- íîñòü ÷èñëà π. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íàòóðàëüíîì n ÷èñëî ζ(2n) òðàíñöåí- 1.1 Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ 5 äåíòíî. Ñèòóàöèÿ ñ ÷èñëàìè ζ(2n+ 1) íàìíîãî áîëåå ñëîæíàÿ. Ïðîáëåìà àðèô- ìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ýòèõ ÷èñåë ïîäíèìàëàñü åùå â 1934 ã. À.Î. Ãåëüôîíäîì (ñì. çàêëþ÷åíèå â [4]). Ñóùåñòâóåò Ãèïîòåçà. Ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n è äëÿ ëþáîãî íåíóëåâîãî ìíîãî÷ëå- íà P(x0, . . . , xn) ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè âåðíî P(π, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(2n + 1)) 6= 0. Î÷åâèäíî, äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ãèïîòåçû ïîëíîñòüþ áû ðåøèëî ïðîáëåìó àðèôìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ.  ÷àñòíîñòè, èç ýòîé ãèïîòåçû ñëåäóåò òðàíñöåíäåíòíîñòü ÷èñåë ζ(2n+ 1). Îäíàêî îíà äî ñèõ ïîð íå äîêàçàíà è íå îïðîâåðãíóòà. Ïåðâûé øàã â èçó÷åíèè äçåòà-ôóíêöèè â íå÷åòíûõ òî÷êàõ ñäåëàë â 1978ã. Ð. Àïåðè [27], äîêàçàâ èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3). Âêðàòöå, åãî äîêà- çàòåëüñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñòðîÿòñÿ äèîôàíòîâû ïðèáëèæåíèÿ ê ζ(3), unζ(3) − vn, n = 0, 1, 2, . . . , (1.1) ãäå äëÿ un è vn âûïèñûâàþòñÿ ÿâíûå ôîðìóëû, èç êîòîðûõ ñëåäóåò, ÷òî un ∈ Z è D3 n vn ∈ Z (÷åðåç Dn îáîçíà÷åíî íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë 1, 2, . . . , n). Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâà îöåíêà 0 < |unζ(3) − vn| < c( √ 2 − 1)4n . (1.2) Óìíîæàÿ (1.2) íà D3 n , ïîëó÷èì 0 < |D 3 nunζ(3) − D 3 n vn| < cD3 n ( √ 2 − 1)4n . Òàê êàê Dn 6 3 n è 3 3 ( √ 2 − 1)4 < 1, òî ïðàâàÿ ÷àñòü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞. Îòêóäà è ñëåäóåò èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3). Òðàíñöåíäåíòíîñòü ζ(3) èëè èððàöèîíàëüíîñòü ζ(2n + 1) ïðè n > 2 ïîêà íå äîêàçàíà. Îäíàêî ïîñëå Àïåðè, ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ îáîáùåíèé, áûëè äîêàçàíû èíòåðåñíûå ðåçóëüòàòû. Îòìåòèì, â ÷àñòíîñòè, ðåçóëüòàò Ò. Ðèâîàëÿ [41] î áåñêîíå÷íîñòè ðàçìåðíîñòè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä 1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 6 Q, ïîðîæäåííîãî çíà÷åíèÿìè ζ(2n + 1), à òàêæå ðåçóëüòàò Â.Â. Çóäèëèíà [11] îá èððàöèîíàëüíîñòè ïî êðàéíåé ìåðå îäíîãî èç ÷åòûðåõ ÷èñåë ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11). 1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñè- ìàöèé Ïåðâûì, êòî ðàññìîòðåë êðàòíûå èíòåãðàëû â ñâÿçè äèîôàíòîâûìè ïðèáëèæåíèÿìè, áûë Ê. Ìàëåð ([36]). Îí èñïîëüçîâàë èíòåãðàëû, êîòîðûå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (ñì. [17]) Z [0,1]m Y m i=1 x ai−1 i (1 − xi) bi−ai−1 (1 − zx1 · · · xi) ci dx1 · · · dxm ïðè ñïåöèàëüíîì âûáîðå ïàðàìåòðîâ ai , bi , ci , äëÿ îöåíêè ñâåðõó ëèíåéíûõ ôîðì, ïðèáëèæàþùèõ çíà÷åíèÿ áèíîìîâ (1 − z) ω . Ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà Àïåðè èððàöèîíàëüíîñòè ζ(3) Ô. Áåéêåðñ [29] â 1979ã. ïðåäëîæèë äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Z [0,1]3 x n (1 − x) n y n (1 − y) n z n (1 − z) n (1 − z(1 − xy))n+1 dx dy dz. (1.3) Ýòîò èíòåãðàë ðàâåí 2(unζ(3)−vn), ãäå un, vn òå æå, ÷òî è â (1.1). Òàêæå â [29] áûë ðàññìîòðåí èíòåãðàë Z [0,1]2 x n (1 − x) n y n (1 − y) n (1 − xy) n+1 dx dy, êîòîðûé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1, ζ(2) ñ ðà- öèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ñ åãî ïîìîùüþ ìîæåò áûòü äîêàçàíà èð- ðàöèîíàëüíîñòü ζ(2). Êîíå÷íî, èððàöèîíàëüíîñòü (è äàæå òðàíñöåíäåíò- íîñòü) ÷èñëà ζ(2) = π 2/6 õîðîøî èçâåñòíà, îäíàêî ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëîâ Áåéêåðñà è èíîãî âûáîðà èõ ïàðàìåòðîâ äîêàçàíû íàèëó÷øèå îöåíêè ïî- êàçàòåëÿ èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñåë π 2 è ζ(3) (ñì. [39], [40]). Êàê îáû÷íî, 1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 7 ïîêàçàòåëü èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñëà α ýòî íèæíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà ÷è- ñåë µ, äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî
α − p q
6 1 q µ èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé â öåëûõ p è q ñ q > 0. Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ïîïûòêè îáîáùåíèÿ èíòåãðàëîâ Áåéêåðñà ñ öå- ëüþ èçó÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè â öåëûõ òî÷êàõ. Ïåðâàÿ èç íèõ áûëà â 1990ã. [1] ïðåäïðèíÿòà Î.Í. Âàñèëåíêî, êîòîðûé ðàññìîòðåë èíòåãðàëû Vm,n = Z [0,1]m Qm i=1 x n i (1 − xi) n dx1dx2 . . . dxm (1 − x1 + x1x2 − · · · + (−1)mx1x2 · · · xm) n+1 . (1.4) Èíòåãðàëû V2,n è V3,n (ïîñëå çàìåíû x3 → 1 − x3) ñîâïàäàþò ñ èíòåãðàëà- ìè Áåéêåðñà. Âàñèëåíêî àíîíñèðîâàë íåêîòîðûå òîæäåñòâà, âûðàæàþùèå ðåêóððåíòíî Vm,0 ÷åðåç Vm−2k,0, 1 6 k 6 m 2 , è êðàòíûå äçåòà-çíà÷åíèÿ ζ(s1, . . . , sk) = X n1>n2>···>nk>1 1 n s1 1 . . . n sk k . Ýòî ïîçâîëèëî åìó äîêàçàòü, ÷òî V3,0 = 2ζ(3), V5,0 = 2ζ(5), à òàêæå óñòàíî- âèòü, ÷òî V2m,0 åñòü ëèíåéíàÿ ôîðìà ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè îò ζ(2), ζ(4), . . . , ζ(2m). Èçó÷åíèå èíòåãðàëîâ ýòîãî âèäà ïðîäîëæèë Ä.Â. Âàñèëüåâ.  ðàáîòå [2] ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé áûëè óñòàíîâëåíû ðàâåíñòâà V2k,0 = 2(1 − 2 1−2k )ζ(2k), V2k+1,0 = 2ζ(2k + 1) äëÿ âñå
56565
04.05.2017 в 13:12
46464
положительный
Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ Íàïîìíèì, ÷òî äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà ζ(s) ïðè Re s > 1 îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì ðÿäîì: ζ(s) = X ∞ n=1 1 ns . Îäíà èç ïðîáëåì òåîðèè òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë ñîñòîèò â òîì, ÷òî- áû èçó÷èòü àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ s > 2, ò.å. âûÿñíèòü, ÿâëÿþòñÿ ýòè ÷èñëà ðàöèîíàëüíûìè èëè èððàöèîíàëüíûìè, àëãåáðàè÷åñêèìè èëè òðàíñöåíäåíòíûìè, à òàêæå íàéòè âñå àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íèìè. Åùå Ýéëåð ïîêàçàë, ÷òî â ÷åòíûõ òî÷êàõ äçåòà-ôóíêöèþ ìîæíî âû- ÷èñëèòü ÿâíî: ζ(2n) = (−1)n−1 (2π) 2n 2(2n)!B2n, ãäå B2n ÷èñëà Áåðíóëëè, óäîâëåòâîðÿþùèå ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ X n k=0
n + 1 k
Bk = 0, n > 1, è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ B0 = 1.  1882 ã. Ëèíäåìàí äîêàçàë òðàíñöåíäåíò- íîñòü ÷èñëà π. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íàòóðàëüíîì n ÷èñëî ζ(2n) òðàíñöåí- 1.1 Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ 5 äåíòíî. Ñèòóàöèÿ ñ ÷èñëàìè ζ(2n+ 1) íàìíîãî áîëåå ñëîæíàÿ. Ïðîáëåìà àðèô- ìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ýòèõ ÷èñåë ïîäíèìàëàñü åùå â 1934 ã. À.Î. Ãåëüôîíäîì (ñì. çàêëþ÷åíèå â [4]). Ñóùåñòâóåò Ãèïîòåçà. Ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n è äëÿ ëþáîãî íåíóëåâîãî ìíîãî÷ëå- íà P(x0, . . . , xn) ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè âåðíî P(π, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(2n + 1)) 6= 0. Î÷åâèäíî, äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ãèïîòåçû ïîëíîñòüþ áû ðåøèëî ïðîáëåìó àðèôìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ.  ÷àñòíîñòè, èç ýòîé ãèïîòåçû ñëåäóåò òðàíñöåíäåíòíîñòü ÷èñåë ζ(2n+ 1). Îäíàêî îíà äî ñèõ ïîð íå äîêàçàíà è íå îïðîâåðãíóòà. Ïåðâûé øàã â èçó÷åíèè äçåòà-ôóíêöèè â íå÷åòíûõ òî÷êàõ ñäåëàë â 1978ã. Ð. Àïåðè [27], äîêàçàâ èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3). Âêðàòöå, åãî äîêà- çàòåëüñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñòðîÿòñÿ äèîôàíòîâû ïðèáëèæåíèÿ ê ζ(3), unζ(3) − vn, n = 0, 1, 2, . . . , (1.1) ãäå äëÿ un è vn âûïèñûâàþòñÿ ÿâíûå ôîðìóëû, èç êîòîðûõ ñëåäóåò, ÷òî un ∈ Z è D3 n vn ∈ Z (÷åðåç Dn îáîçíà÷åíî íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë 1, 2, . . . , n). Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâà îöåíêà 0 < |unζ(3) − vn| < c( √ 2 − 1)4n . (1.2) Óìíîæàÿ (1.2) íà D3 n , ïîëó÷èì 0 < |D 3 nunζ(3) − D 3 n vn| < cD3 n ( √ 2 − 1)4n . Òàê êàê Dn 6 3 n è 3 3 ( √ 2 − 1)4 < 1, òî ïðàâàÿ ÷àñòü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞. Îòêóäà è ñëåäóåò èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3). Òðàíñöåíäåíòíîñòü ζ(3) èëè èððàöèîíàëüíîñòü ζ(2n + 1) ïðè n > 2 ïîêà íå äîêàçàíà. Îäíàêî ïîñëå Àïåðè, ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ îáîáùåíèé, áûëè äîêàçàíû èíòåðåñíûå ðåçóëüòàòû. Îòìåòèì, â ÷àñòíîñòè, ðåçóëüòàò Ò. Ðèâîàëÿ [41] î áåñêîíå÷íîñòè ðàçìåðíîñòè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä 1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 6 Q, ïîðîæäåííîãî çíà÷åíèÿìè ζ(2n + 1), à òàêæå ðåçóëüòàò Â.Â. Çóäèëèíà [11] îá èððàöèîíàëüíîñòè ïî êðàéíåé ìåðå îäíîãî èç ÷åòûðåõ ÷èñåë ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11). 1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñè- ìàöèé Ïåðâûì, êòî ðàññìîòðåë êðàòíûå èíòåãðàëû â ñâÿçè äèîôàíòîâûìè ïðèáëèæåíèÿìè, áûë Ê. Ìàëåð ([36]). Îí èñïîëüçîâàë èíòåãðàëû, êîòîðûå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (ñì. [17]) Z [0,1]m Y m i=1 x ai−1 i (1 − xi) bi−ai−1 (1 − zx1 · · · xi) ci dx1 · · · dxm ïðè ñïåöèàëüíîì âûáîðå ïàðàìåòðîâ ai , bi , ci , äëÿ îöåíêè ñâåðõó ëèíåéíûõ ôîðì, ïðèáëèæàþùèõ çíà÷åíèÿ áèíîìîâ (1 − z) ω . Ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà Àïåðè èððàöèîíàëüíîñòè ζ(3) Ô. Áåéêåðñ [29] â 1979ã. ïðåäëîæèë äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Z [0,1]3 x n (1 − x) n y n (1 − y) n z n (1 − z) n (1 − z(1 − xy))n+1 dx dy dz. (1.3) Ýòîò èíòåãðàë ðàâåí 2(unζ(3)−vn), ãäå un, vn òå æå, ÷òî è â (1.1). Òàêæå â [29] áûë ðàññìîòðåí èíòåãðàë Z [0,1]2 x n (1 − x) n y n (1 − y) n (1 − xy) n+1 dx dy, êîòîðûé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1, ζ(2) ñ ðà- öèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ñ åãî ïîìîùüþ ìîæåò áûòü äîêàçàíà èð- ðàöèîíàëüíîñòü ζ(2). Êîíå÷íî, èððàöèîíàëüíîñòü (è äàæå òðàíñöåíäåíò- íîñòü) ÷èñëà ζ(2) = π 2/6 õîðîøî èçâåñòíà, îäíàêî ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëîâ Áåéêåðñà è èíîãî âûáîðà èõ ïàðàìåòðîâ äîêàçàíû íàèëó÷øèå îöåíêè ïî- êàçàòåëÿ èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñåë π 2 è ζ(3) (ñì. [39], [40]). Êàê îáû÷íî, 1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 7 ïîêàçàòåëü èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñëà α ýòî íèæíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà ÷è- ñåë µ, äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî
α − p q
6 1 q µ èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé â öåëûõ p è q ñ q > 0. Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ïîïûòêè îáîáùåíèÿ èíòåãðàëîâ Áåéêåðñà ñ öå- ëüþ èçó÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè â öåëûõ òî÷êàõ. Ïåðâàÿ èç íèõ áûëà â 1990ã. [1] ïðåäïðèíÿòà Î.Í. Âàñèëåíêî, êîòîðûé ðàññìîòðåë èíòåãðàëû Vm,n = Z [0,1]m Qm i=1 x n i (1 − xi) n dx1dx2 . . . dxm (1 − x1 + x1x2 − · · · + (−1)mx1x2 · · · xm) n+1 . (1.4) Èíòåãðàëû V2,n è V3,n (ïîñëå çàìåíû x3 → 1 − x3) ñîâïàäàþò ñ èíòåãðàëà- ìè Áåéêåðñà. Âàñèëåíêî àíîíñèðîâàë íåêîòîðûå òîæäåñòâà, âûðàæàþùèå ðåêóððåíòíî Vm,0 ÷åðåç Vm−2k,0, 1 6 k 6 m 2 , è êðàòíûå äçåòà-çíà÷åíèÿ ζ(s1, . . . , sk) = X n1>n2>···>nk>1 1 n s1 1 . . . n sk k . Ýòî ïîçâîëèëî åìó äîêàçàòü, ÷òî V3,0 = 2ζ(3), V5,0 = 2ζ(5), à òàêæå óñòàíî- âèòü, ÷òî V2m,0 åñòü ëèíåéíàÿ ôîðìà ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè îò ζ(2), ζ(4), . . . , ζ(2m). Èçó÷åíèå èíòåãðàëîâ ýòîãî âèäà ïðîäîëæèë Ä.Â. Âàñèëüåâ.  ðàáîòå [2] ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé áûëè óñòàíîâëåíû ðàâåíñòâà V2k,0 = 2(1 − 2 1−2k )ζ(2k), V2k+1,0 = 2ζ(2k + 1) äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ k. Äàëåå, â [3] Âàñèëüåâ äîêàçàë, ÷òî ïðè m = 4 è m = 5 èíòåãðàë (1.4) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíûõ ôîðì ñ ðàöèî- íàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè îò 1, ζ(2), ζ(4) è 1, ζ(3), ζ(5) ñîîòâåòñòâåííî. Âàñèëüåâ òàêæå ïðåäïîëîæèë, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîì íå÷åòíîì m > 3, èí- òåãðàë ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1, ζ(3), ζ(5),. . . , ζ(m) ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, à ïðè íå÷åòíîì m çíàìåíàòåëè ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ äåëÿò Dm n . Åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì (1.4) ÿâëÿåòñÿ èíòå- 1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 8 ãðàë V (z) = Vm
a0, a1, a2, . . . , am b1, b2, . . . , bm ; z
= Z [0,1]m Qm i=1 x ai−1 i (1 − xi) bi−ai−1 (1 − zx1 + zx1x2 − · · · + (−1)mzx1x2 · · · xm) a0 dx1dx2 . . . dxm. Â.Â. Çóäèëèí â [10] äîêàçàë, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ íà ïàðàìåò- ðû, èíòåãðàë V (1) ðàâåí çíà÷åíèþ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè â òî÷êå z = 1, ÷òî äîêàçûâàëî ïðåäñòàâëåíèå V (1) â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1 è ζ(k), ãäå k öåëûå ÷èñëà òîé æå ÷åòíîñòè, ÷òî è m, 1 < k 6 m. Òåì ñàìûì ãèïîòåçà Âàñèëüåâà, çà èñêëþ÷åíèåì óòâåðæäåíèÿ î çíàìåíàòåëÿõ êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîé ôîðìû, áûëà äîêàçàíà. Îöåíêà æå çíàìåíàòåëÿ ïðè íå÷åòíîì m = 2l + 1 â [10] áûëà õóæå ïðåäïîëàãàåìîé. Òî, ÷òî çíàìå- íàòåëè êîýôôèöèåíòîâ äåëÿò D2l+1 n ïðè ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîì ïðåäñòàâëå- íèè ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé çàäà÷åé, êîòîðàÿ áûëà ðåøåíà íåäàâíî Ðèâîàëåì è Êðàòòåíòàëåðîì ([35, Theoreme 1]). Ãèïîòåçà Âàñèëüåâà áóäåò ïîëíîñòüþ äîêàçàíà â ðàçäåëå 3.6 áåç èñïîëüçîâàíèÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî ïðåäñòàâ- ëåíèÿ V2l+1,n.  1998ã. Â.Í. Ñîðîêèí [20] îïóáëèêîâàë èíîå äîêàçàòåëüñòâî èððàöèî- íàëüíîñòè ζ(3), èñïîëüçóþùåå èíòåãðàë Z [0,1]3 x n 1 (1 − x1) nx n 2 (1 − x2) nx n 3 (1 − x3) n (1 − x1x2) n+1(1 − x1x2x3) n+1 dx1dx2dx3. (1.5) Îêàçûâàåòñÿ, ïîñëåäíèé èíòåãðàë ðàâåí èíòåãðàëó Áåéêåðñà (1.3) (è èíòå- ãðàëó (1.4) ïðè m = 3). Ýòîò ôàêò íåçàâèñèìî ïîêàçàí Ñ. Ôèøëåðîì ([31]) è àâòîðîì (ñì. ñëåäñòâèå 2.2). Èíòåãðàëû òîãî æå òèïà Z [0,1]2l Q2l i=1 x n−δ i (1 − xi) n Ql j=1( z x1x2...x2j−2 − x2j−1x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l èñïîëüçîâàëèñü â [21] äëÿ îöåíêè ìåðû òðàíñöåíäåíòíîñòè π 2 .  äèññåðòà- öèîííîé ðàáîòå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëåäóþùåå îáîáùåíèå èíòåãðàëîâ Ñîðîêèíà: 1.3 Îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû è êðàòíûå äçåòà-ôóíêöèè 9 S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai−1 i (1 − xi) bi−ai−1 Ql j=1(1 − zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 < r1 < r2 < · · · < rl = m. (1.6) 1.3 Îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû è êðàòíûå äçåòà-ôóíêöèè  ðàáîòå áîëüøóþ ðîëü èãðàþò îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû, îïðåäå- ëÿåìûå ðàâåíñòâàìè Li~s(z) = X n1>n2>···>nl>1 z n1 n s1 1 n s2 2 . . . n sl l , Le~s(z) = X n1>n2>...>nl>1 z n1 n s1 1 n s2 2 . . . n sl l , ãäå ~s = (s1, s2, . . . , sl) âåêòîð ñ íàòóðàëüíûìè êîìïîíåíòàìè.  äàëüíåé- øåì áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëèíà l(~s) âåêòîðà ~s êîëè÷åñòâî åãî êîîðäèíàò è âåñ w(~s) èõ ñóììà. Ðÿäû, îïðåäåëÿþùèå îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû, ñõîäÿòñÿ ïðè |z| < 1. Ôóíêöèè Le~s(z) è Li~s(z) ìîãóò áûòü ëèíåéíî âûðà- æåíû äðóã ÷åðåç äðóãà. À èìåííî (ñì. [23]): Les1,...,sl (z) = X ~p Li~p(z), Lis1,...,sl (z) = X ~p (−1)α(~p) Le~p(z), ãäå ~p ïðîáåãàåò âñå âåêòîðà âèäà (s1 ∗ s2 ∗ · · · ∗ sl). Çíàê '*' ìîæåò áûòü ëèáî çíàêîì '+', ëèáî çíàêîì ',', à α(~p) ðàâíÿåòñÿ êîëè÷åñòâó çíàêîâ '+'. Äëÿ óäîáñòâà ïîëîæèì Li∅(z) = Le∅(z) = 1. Ïðè l = 1 îáîáùåííûå ïîëè- ëîãàðèôìû ïðåâðàùàþòñÿ â êëàññè÷åñêèå ïîëèëîãàðèôìû: Lis(z) = Les(z) = X ∞ n=1 z n ns . Ñ îáîáùåííûìè ïîëèëîãàðèôìàìè òåñíî ñâÿçàíî ïîíÿòèå êðàòíîé äçåòà-ôóíêöèè: ζ(s1, s2, . . . , sl) = X n1>n2>···>nl>1 1 n s1 1 · · · n sl l , 1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè 10 ζe(s1, s2, . . . , sl) = X n1>n2>···>nl>1 1 n s1 1 · · · n sl l . Ýòè ðÿäû ñõîäÿòñÿ ïðè íàòóðàëüíûõ sj è óñëîâèè s1 > 1 (åñëè s1 = 1, òî ðÿä ðàñõîäèòñÿ).  ýòîì ñëó÷àå èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ζ(s1, s2, . . . , sl) = Lis1,s2,...,sl (1), ζe(s1, s2, . . . , sl) = Les1,s2,...,sl (1). Åñòåñòâåííî, êàê è ó îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ, ïðè ôèêñèðîâàííûõ s1, s2, . . . , sl , çíà÷åíèå ζe(s1, s2, . . . , sl) âûðàæàåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáè- íàöèè çíà÷åíèé ζ îò âåêòîðîâ òîãî æå âåñà, ÷òî è ~s, è íàîáîðîò. Çíà÷å- íèÿ ôóíêöèè ζ(s1, s2, . . . , sl) äîâîëüíî õîðîøî èçó÷åíû, ìåæäó íèìè ñó- ùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ëèíåéíûå è àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ. Çíà÷åíèÿ æå ζe(s1, s2, . . . , sl) (îáîçíà÷åíèå íå ÿâëÿåòñÿ ïðèíÿòûì) ïîêà ÷òî îñòàþòñÿ áîëüøå â òåíè. Îäíàêî, ñêàæåì, ðàâåíñòâî ζe({2}k, 1) = 2ζ(2k + 1) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ èçó÷åíèÿ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â íå÷åò- íûõ òî÷êàõ. Çäåñü è äàëåå, {a}k îçíà÷àåò k ðàç ïîâòîðåííîå ÷åðåç çàïÿòóþ ÷èñëî a. Ïðè l = 1 îáà âàðèàíòà êðàòíîé äçåòà-ôóíêöèè ïðåâðàùàþòñÿ â îáû÷íóþ äçåòà-ôóíêöèþ Ðèìàíà. 1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè Îêàçûâàåòñÿ, èíòåãðàë V (z), ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ïàðàìåò- ðû ìîæåò áûòü ñâåäåí ê S(z). Ìû óñòàíîâèì ýòî â ðàçäåëå 2.1, äîêàçàâ áîëåå îáùåå òîæäåñòâî. Ïóñòü äàíû íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1 6 r1 < r2 < · · · < rl = m, r0 = 0 è êîìïëåêñíûå ÷èñëà a0 è ai , bi , 1 6 i 6 m. Îïðåäåëèì ìíîãî÷ëåíû Qj (z, x1, x2, . . . , xm), 1 6 j 6 l: Q0 = 1, Qj (z, x1, x2, . . . , xm) = Qj−1(z, x1, x2, . . . , xm)−z(1−xrj ) Y 16ixi , ìíîæåñòâî S è ÷èñëà ci : S = {rj |1 6 j 6 l}, ci = ( ai , åñëè i /∈ S, arj−1 , åñëè i = rj ∈ S. 1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè 11 Òîãäà ñïðàâåäëèâà Teopeìà 2.1. Ïóñòü Re(a0) > 0, Re(bi) > Re(ai) > 0 ïðè 1 6 i 6 m, Re(bi) > Re(ci) ïðè i ∈ S. Òîãäà ïðè z ∈ C, |z| < 1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî Z [0,1]m Qm i=1 x ai−1 i (1 − xi) bi−ai−1 Ql(z, x1, x2, . . . , xm) a0 dx = Γ(am) Γ(a0) Y i∈S Γ(bi − ai) Γ(bi − ci) Z [0,1]m Qm i=1 x ci−1 i (1 − xi) bi−ci−1 Q i∈S (1 − zx1 . . . xi) bi−ai dx, ãäå dx = dx1dx2 · · · dxm è îáà èíòåãðàëà ñõîäÿòñÿ. Èç ýòîãî èíòåãðàëüíîãî òîæäåñòâà âûòåêàåò ðàâåíñòâî èíòåãðàëà V (z) èíòåãðàëó âèäà S(z). Ýòîò ðåçóëüòàò ôîðìóëèðóåòñÿ â âèäå äâóõ òåîðåì â çàâèñèìîñòè îò ÷åòíîñòè ðàçìåðíîñòè èíòåãðàëà V (z). Teopeìà 2.3. Ïóñòü Re(a0) > 0, Re(bi) > Re(ai) > 0 ïðè 1 6 i 6 2l + 1, Re(b2j ) > Re(a2j−2) ïðè 1 6 j 6 l, Re(b2l+1) > Re(a2l). Òîãäà ïðè |z| < 1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî V2l+1 a0, a1, a2, . . . , a2l+1 b1, b2, . . . , b2l+1 ; z
= Γ(a2l+1) Γ(a0) Γ(b2l+1 − a2l+1) Γ(b2l+1 − a2l) Y l j=1 Γ(b2j Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ Íàïîìíèì, ÷òî äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà ζ(s) ïðè Re s > 1 îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì ðÿäîì: ζ(s) = X ∞ n=1 1 ns . Îäíà èç ïðîáëåì òåîðèè òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë ñîñòîèò â òîì, ÷òî- áû èçó÷èòü àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ s > 2, ò.å. âûÿñíèòü, ÿâëÿþòñÿ ýòè ÷èñëà ðàöèîíàëüíûìè èëè èððàöèîíàëüíûìè, àëãåáðàè÷åñêèìè èëè òðàíñöåíäåíòíûìè, à òàêæå íàéòè âñå àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íèìè. Åùå Ýéëåð ïîêàçàë, ÷òî â ÷åòíûõ òî÷êàõ äçåòà-ôóíêöèþ ìîæíî âû- ÷èñëèòü ÿâíî: ζ(2n) = (−1)n−1 (2π) 2n 2(2n)!B2n, ãäå B2n ÷èñëà Áåðíóëëè, óäîâëåòâîðÿþùèå ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ X n k=0
n + 1 k
Bk = 0, n > 1, è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ B0 = 1.  1882 ã. Ëèíäåìàí äîêàçàë òðàíñöåíäåíò- íîñòü ÷èñëà π. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íàòóðàëüíîì n ÷èñëî ζ(2n) òðàíñöåí- 1.1 Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ 5 äåíòíî. Ñèòóàöèÿ ñ ÷èñëàìè ζ(2n+ 1) íàìíîãî áîëåå ñëîæíàÿ. Ïðîáëåìà àðèô- ìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ýòèõ ÷èñåë ïîäíèìàëàñü åùå â 1934 ã. À.Î. Ãåëüôîíäîì (ñì. çàêëþ÷åíèå â [4]). Ñóùåñòâóåò Ãèïîòåçà. Ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n è äëÿ ëþáîãî íåíóëåâîãî ìíîãî÷ëå- íà P(x0, . . . , xn) ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè âåðíî P(π, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(2n + 1)) 6= 0. Î÷åâèäíî, äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ãèïîòåçû ïîëíîñòüþ áû ðåøèëî ïðîáëåìó àðèôìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ.  ÷àñòíîñòè, èç ýòîé ãèïîòåçû ñëåäóåò òðàíñöåíäåíòíîñòü ÷èñåë ζ(2n+ 1). Îäíàêî îíà äî ñèõ ïîð íå äîêàçàíà è íå îïðîâåðãíóòà. Ïåðâûé øàã â èçó÷åíèè äçåòà-ôóíêöèè â íå÷åòíûõ òî÷êàõ ñäåëàë â 1978ã. Ð. Àïåðè [27], äîêàçàâ èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3). Âêðàòöå, åãî äîêà- çàòåëüñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñòðîÿòñÿ äèîôàíòîâû ïðèáëèæåíèÿ ê ζ(3), unζ(3) − vn, n = 0, 1, 2, . . . , (1.1) ãäå äëÿ un è vn âûïèñûâàþòñÿ ÿâíûå ôîðìóëû, èç êîòîðûõ ñëåäóåò, ÷òî un ∈ Z è D3 n vn ∈ Z (÷åðåç Dn îáîçíà÷åíî íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë 1, 2, . . . , n). Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâà îöåíêà 0 < |unζ(3) − vn| < c( √ 2 − 1)4n . (1.2) Óìíîæàÿ (1.2) íà D3 n , ïîëó÷èì 0 < |D 3 nunζ(3) − D 3 n vn| < cD3 n ( √ 2 − 1)4n . Òàê êàê Dn 6 3 n è 3 3 ( √ 2 − 1)4 < 1, òî ïðàâàÿ ÷àñòü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞. Îòêóäà è ñëåäóåò èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3). Òðàíñöåíäåíòíîñòü ζ(3) èëè èððàöèîíàëüíîñòü ζ(2n + 1) ïðè n > 2 ïîêà íå äîêàçàíà. Îäíàêî ïîñëå Àïåðè, ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ îáîáùåíèé, áûëè äîêàçàíû èíòåðåñíûå ðåçóëüòàòû. Îòìåòèì, â ÷àñòíîñòè, ðåçóëüòàò Ò. Ðèâîàëÿ [41] î áåñêîíå÷íîñòè ðàçìåðíîñòè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä 1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 6 Q, ïîðîæäåííîãî çíà÷åíèÿìè ζ(2n + 1), à òàêæå ðåçóëüòàò Â.Â. Çóäèëèíà [11] îá èððàöèîíàëüíîñòè ïî êðàéíåé ìåðå îäíîãî èç ÷åòûðåõ ÷èñåë ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11). 1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñè- ìàöèé Ïåðâûì, êòî ðàññìîòðåë êðàòíûå èíòåãðàëû â ñâÿçè äèîôàíòîâûìè ïðèáëèæåíèÿìè, áûë Ê. Ìàëåð ([36]). Îí èñïîëüçîâàë èíòåãðàëû, êîòîðûå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (ñì. [17]) Z [0,1]m Y m i=1 x ai−1 i (1 − xi) bi−ai−1 (1 − zx1 · · · xi) ci dx1 · · · dxm ïðè ñïåöèàëüíîì âûáîðå ïàðàìåòðîâ ai , bi , ci , äëÿ îöåíêè ñâåðõó ëèíåéíûõ ôîðì, ïðèáëèæàþùèõ çíà÷åíèÿ áèíîìîâ (1 − z) ω . Ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà Àïåðè èððàöèîíàëüíîñòè ζ(3) Ô. Áåéêåðñ [29] â 1979ã. ïðåäëîæèë äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Z [0,1]3 x n (1 − x) n y n (1 − y) n z n (1 − z) n (1 − z(1 − xy))n+1 dx dy dz. (1.3) Ýòîò èíòåãðàë ðàâåí 2(unζ(3)−vn), ãäå un, vn òå æå, ÷òî è â (1.1). Òàêæå â [29] áûë ðàññìîòðåí èíòåãðàë Z [0,1]2 x n (1 − x) n y n (1 − y) n (1 − xy) n+1 dx dy, êîòîðûé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1, ζ(2) ñ ðà- öèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ñ åãî ïîìîùüþ ìîæåò áûòü äîêàçàíà èð- ðàöèîíàëüíîñòü ζ(2). Êîíå÷íî, èððàöèîíàëüíîñòü (è äàæå òðàíñöåíäåíò- íîñòü) ÷èñëà ζ(2) = π 2/6 õîðîøî èçâåñòíà, îäíàêî ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëîâ Áåéêåðñà è èíîãî âûáîðà èõ ïàðàìåòðîâ äîêàçàíû íàèëó÷øèå îöåíêè ïî- êàçàòåëÿ èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñåë π 2 è ζ(3) (ñì. [39], [40]). Êàê îáû÷íî, 1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 7 ïîêàçàòåëü èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñëà α ýòî íèæíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà ÷è- ñåë µ, äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî
α − p q
6 1 q µ èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé â öåëûõ p è q ñ q > 0. Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ïîïûòêè îáîáùåíèÿ èíòåãðàëîâ Áåéêåðñà ñ öå- ëüþ èçó÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè â öåëûõ òî÷êàõ. Ïåðâàÿ èç íèõ áûëà â 1990ã. [1] ïðåäïðèíÿòà Î.Í. Âàñèëåíêî, êîòîðûé ðàññìîòðåë èíòåãðàëû Vm,n = Z [0,1]m Qm i=1 x n i (1 − xi) n dx1dx2 . . . dxm (1 − x1 + x1x2 − · · · + (−1)mx1x2 · · · xm) n+1 . (1.4) Èíòåãðàëû V2,n è V3,n (ïîñëå çàìåíû x3 → 1 − x3) ñîâïàäàþò ñ èíòåãðàëà- ìè Áåéêåðñà. Âàñèëåíêî àíîíñèðîâàë íåêîòîðûå òîæäåñòâà, âûðàæàþùèå ðåêóððåíòíî Vm,0 ÷åðåç Vm−2k,0, 1 6 k 6 m 2 , è êðàòíûå äçåòà-çíà÷åíèÿ ζ(s1, . . . , sk) = X n1>n2>···>nk>1 1 n s1 1 . . . n sk k . Ýòî ïîçâîëèëî åìó äîêàçàòü, ÷òî V3,0 = 2ζ(3), V5,0 = 2ζ(5), à òàêæå óñòàíî- âèòü, ÷òî V2m,0 åñòü ëèíåéíàÿ ôîðìà ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè îò ζ(2), ζ(4), . . . , ζ(2m). Èçó÷åíèå èíòåãðàëîâ ýòîãî âèäà ïðîäîëæèë Ä.Â. Âàñèëüåâ.  ðàáîòå [2] ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé áûëè óñòàíîâëåíû ðàâåíñòâà V2k,0 = 2(1 − 2 1−2k )ζ(2k), V2k+1,0 = 2ζ(2k + 1) äëÿ âñå
8976454
04.05.2017 в 13:11
2163546
положительный
Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ Íàïîìíèì, ÷òî äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà ζ(s) ïðè Re s > 1 îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì ðÿäîì: ζ(s) = X ∞ n=1 1 ns . Îäíà èç ïðîáëåì òåîðèè òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë ñîñòîèò â òîì, ÷òî- áû èçó÷èòü àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ s > 2, ò.å. âûÿñíèòü, ÿâëÿþòñÿ ýòè ÷èñëà ðàöèîíàëüíûìè èëè èððàöèîíàëüíûìè, àëãåáðàè÷åñêèìè èëè òðàíñöåíäåíòíûìè, à òàêæå íàéòè âñå àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íèìè. Åùå Ýéëåð ïîêàçàë, ÷òî â ÷åòíûõ òî÷êàõ äçåòà-ôóíêöèþ ìîæíî âû- ÷èñëèòü ÿâíî: ζ(2n) = (−1)n−1 (2π) 2n 2(2n)!B2n, ãäå B2n ÷èñëà Áåðíóëëè, óäîâëåòâîðÿþùèå ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ X n k=0
n + 1 k
Bk = 0, n > 1, è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ B0 = 1.  1882 ã. Ëèíäåìàí äîêàçàë òðàíñöåíäåíò- íîñòü ÷èñëà π. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íàòóðàëüíîì n ÷èñëî ζ(2n) òðàíñöåí- 1.1 Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ 5 äåíòíî. Ñèòóàöèÿ ñ ÷èñëàìè ζ(2n+ 1) íàìíîãî áîëåå ñëîæíàÿ. Ïðîáëåìà àðèô- ìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ýòèõ ÷èñåë ïîäíèìàëàñü åùå â 1934 ã. À.Î. Ãåëüôîíäîì (ñì. çàêëþ÷åíèå â [4]). Ñóùåñòâóåò Ãèïîòåçà. Ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n è äëÿ ëþáîãî íåíóëåâîãî ìíîãî÷ëå- íà P(x0, . . . , xn) ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè âåðíî P(π, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(2n + 1)) 6= 0. Î÷åâèäíî, äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ãèïîòåçû ïîëíîñòüþ áû ðåøèëî ïðîáëåìó àðèôìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ.  ÷àñòíîñòè, èç ýòîé ãèïîòåçû ñëåäóåò òðàíñöåíäåíòíîñòü ÷èñåë ζ(2n+ 1). Îäíàêî îíà äî ñèõ ïîð íå äîêàçàíà è íå îïðîâåðãíóòà. Ïåðâûé øàã â èçó÷åíèè äçåòà-ôóíêöèè â íå÷åòíûõ òî÷êàõ ñäåëàë â 1978ã. Ð. Àïåðè [27], äîêàçàâ èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3). Âêðàòöå, åãî äîêà- çàòåëüñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñòðîÿòñÿ äèîôàíòîâû ïðèáëèæåíèÿ ê ζ(3), unζ(3) − vn, n = 0, 1, 2, . . . , (1.1) ãäå äëÿ un è vn âûïèñûâàþòñÿ ÿâíûå ôîðìóëû, èç êîòîðûõ ñëåäóåò, ÷òî un ∈ Z è D3 n vn ∈ Z (÷åðåç Dn îáîçíà÷åíî íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë 1, 2, . . . , n). Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâà îöåíêà 0 < |unζ(3) − vn| < c( √ 2 − 1)4n . (1.2) Óìíîæàÿ (1.2) íà D3 n , ïîëó÷èì 0 < |D 3 nunζ(3) − D 3 n vn| < cD3 n ( √ 2 − 1)4n . Òàê êàê Dn 6 3 n è 3 3 ( √ 2 − 1)4 < 1, òî ïðàâàÿ ÷àñòü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞. Îòêóäà è ñëåäóåò èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3). Òðàíñöåíäåíòíîñòü ζ(3) èëè èððàöèîíàëüíîñòü ζ(2n + 1) ïðè n > 2 ïîêà íå äîêàçàíà. Îäíàêî ïîñëå Àïåðè, ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ îáîáùåíèé, áûëè äîêàçàíû èíòåðåñíûå ðåçóëüòàòû. Îòìåòèì, â ÷àñòíîñòè, ðåçóëüòàò Ò. Ðèâîàëÿ [41] î áåñêîíå÷íîñòè ðàçìåðíîñòè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä 1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 6 Q, ïîðîæäåííîãî çíà÷åíèÿìè ζ(2n + 1), à òàêæå ðåçóëüòàò Â.Â. Çóäèëèíà [11] îá èððàöèîíàëüíîñòè ïî êðàéíåé ìåðå îäíîãî èç ÷åòûðåõ ÷èñåë ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11). 1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñè- ìàöèé Ïåðâûì, êòî ðàññìîòðåë êðàòíûå èíòåãðàëû â ñâÿçè äèîôàíòîâûìè ïðèáëèæåíèÿìè, áûë Ê. Ìàëåð ([36]). Îí èñïîëüçîâàë èíòåãðàëû, êîòîðûå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (ñì. [17]) Z [0,1]m Y m i=1 x ai−1 i (1 − xi) bi−ai−1 (1 − zx1 · · · xi) ci dx1 · · · dxm ïðè ñïåöèàëüíîì âûáîðå ïàðàìåòðîâ ai , bi , ci , äëÿ îöåíêè ñâåðõó ëèíåéíûõ ôîðì, ïðèáëèæàþùèõ çíà÷åíèÿ áèíîìîâ (1 − z) ω . Ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà Àïåðè èððàöèîíàëüíîñòè ζ(3) Ô. Áåéêåðñ [29] â 1979ã. ïðåäëîæèë äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Z [0,1]3 x n (1 − x) n y n (1 − y) n z n (1 − z) n (1 − z(1 − xy))n+1 dx dy dz. (1.3) Ýòîò èíòåãðàë ðàâåí 2(unζ(3)−vn), ãäå un, vn òå æå, ÷òî è â (1.1). Òàêæå â [29] áûë ðàññìîòðåí èíòåãðàë Z [0,1]2 x n (1 − x) n y n (1 − y) n (1 − xy) n+1 dx dy, êîòîðûé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1, ζ(2) ñ ðà- öèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ñ åãî ïîìîùüþ ìîæåò áûòü äîêàçàíà èð- ðàöèîíàëüíîñòü ζ(2). Êîíå÷íî, èððàöèîíàëüíîñòü (è äàæå òðàíñöåíäåíò- íîñòü) ÷èñëà ζ(2) = π 2/6 õîðîøî èçâåñòíà, îäíàêî ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëîâ Áåéêåðñà è èíîãî âûáîðà èõ ïàðàìåòðîâ äîêàçàíû íàèëó÷øèå îöåíêè ïî- êàçàòåëÿ èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñåë π 2 è ζ(3) (ñì. [39], [40]). Êàê îáû÷íî, 1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 7 ïîêàçàòåëü èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñëà α ýòî íèæíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà ÷è- ñåë µ, äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî
α − p q
6 1 q µ èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé â öåëûõ p è q ñ q > 0. Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ïîïûòêè îáîáùåíèÿ èíòåãðàëîâ Áåéêåðñà ñ öå- ëüþ èçó÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè â öåëûõ òî÷êàõ. Ïåðâàÿ èç íèõ áûëà â 1990ã. [1] ïðåäïðèíÿòà Î.Í. Âàñèëåíêî, êîòîðûé ðàññìîòðåë èíòåãðàëû Vm,n = Z [0,1]m Qm i=1 x n i (1 − xi) n dx1dx2 . . . dxm (1 − x1 + x1x2 − · · · + (−1)mx1x2 · · · xm) n+1 . (1.4) Èíòåãðàëû V2,n è V3,n (ïîñëå çàìåíû x3 → 1 − x3) ñîâïàäàþò ñ èíòåãðàëà- ìè Áåéêåðñà. Âàñèëåíêî àíîíñèðîâàë íåêîòîðûå òîæäåñòâà, âûðàæàþùèå ðåêóððåíòíî Vm,0 ÷åðåç Vm−2k,0, 1 6 k 6 m 2 , è êðàòíûå äçåòà-çíà÷åíèÿ ζ(s1, . . . , sk) = X n1>n2>···>nk>1 1 n s1 1 . . . n sk k . Ýòî ïîçâîëèëî åìó äîêàçàòü, ÷òî V3,0 = 2ζ(3), V5,0 = 2ζ(5), à òàêæå óñòàíî- âèòü, ÷òî V2m,0 åñòü ëèíåéíàÿ ôîðìà ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè îò ζ(2), ζ(4), . . . , ζ(2m). Èçó÷åíèå èíòåãðàëîâ ýòîãî âèäà ïðîäîëæèë Ä.Â. Âàñèëüåâ.  ðàáîòå [2] ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé áûëè óñòàíîâëåíû ðàâåíñòâà V2k,0 = 2(1 − 2 1−2k )ζ(2k), V2k+1,0 = 2ζ(2k + 1) äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ k. Äàëåå, â [3] Âàñèëüåâ äîêàçàë, ÷òî ïðè m = 4 è m = 5 èíòåãðàë (1.4) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíûõ ôîðì ñ ðàöèî- íàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè îò 1, ζ(2), ζ(4) è 1, ζ(3), ζ(5) ñîîòâåòñòâåííî. Âàñèëüåâ òàêæå ïðåäïîëîæèë, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîì íå÷åòíîì m > 3, èí- òåãðàë ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1, ζ(3), ζ(5),. . . , ζ(m) ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, à ïðè íå÷åòíîì m çíàìåíàòåëè ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ äåëÿò Dm n . Åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì (1.4) ÿâëÿåòñÿ èíòå- 1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé 8 ãðàë V (z) = Vm
a0, a1, a2, . . . , am b1, b2, . . . , bm ; z
= Z [0,1]m Qm i=1 x ai−1 i (1 − xi) bi−ai−1 (1 − zx1 + zx1x2 − · · · + (−1)mzx1x2 · · · xm) a0 dx1dx2 . . . dxm. Â.Â. Çóäèëèí â [10] äîêàçàë, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ íà ïàðàìåò- ðû, èíòåãðàë V (1) ðàâåí çíà÷åíèþ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè â òî÷êå z = 1, ÷òî äîêàçûâàëî ïðåäñòàâëåíèå V (1) â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1 è ζ(k), ãäå k öåëûå ÷èñëà òîé æå ÷åòíîñòè, ÷òî è m, 1 < k 6 m. Òåì ñàìûì ãèïîòåçà Âàñèëüåâà, çà èñêëþ÷åíèåì óòâåðæäåíèÿ î çíàìåíàòåëÿõ êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîé ôîðìû, áûëà äîêàçàíà. Îöåíêà æå çíàìåíàòåëÿ ïðè íå÷åòíîì m = 2l + 1 â [10] áûëà õóæå ïðåäïîëàãàåìîé. Òî, ÷òî çíàìå- íàòåëè êîýôôèöèåíòîâ äåëÿò D2l+1 n ïðè ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîì ïðåäñòàâëå- íèè ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé çàäà÷åé, êîòîðàÿ áûëà ðåøåíà íåäàâíî Ðèâîàëåì è Êðàòòåíòàëåðîì ([35, Theoreme 1]). Ãèïîòåçà Âàñèëüåâà áóäåò ïîëíîñòüþ äîêàçàíà â ðàçäåëå 3.6 áåç èñïîëüçîâàíèÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî ïðåäñòàâ- ëåíèÿ V2l+1,n.  1998ã. Â.Í. Ñîðîêèí [20] îïóáëèêîâàë èíîå äîêàçàòåëüñòâî èððàöèî- íàëüíîñòè ζ(3), èñïîëüçóþùåå èíòåãðàë Z [0,1]3 x n 1 (1 − x1) nx n 2 (1 − x2) nx n 3 (1 − x3) n (1 − x1x2) n+1(1 − x1x2x3) n+1 dx1dx2dx3. (1.5) Îêàçûâàåòñÿ, ïîñëåäíèé èíòåãðàë ðàâåí èíòåãðàëó Áåéêåðñà (1.3) (è èíòå- ãðàëó (1.4) ïðè m = 3). Ýòîò ôàêò íåçàâèñèìî ïîêàçàí Ñ. Ôèøëåðîì ([31]) è àâòîðîì (ñì. ñëåäñòâèå 2.2). Èíòåãðàëû òîãî æå òèïà Z [0,1]2l Q2l i=1 x n−δ i (1 − xi) n Ql j=1( z x1x2...x2j−2 − x2j−1x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l èñïîëüçîâàëèñü â [21] äëÿ îöåíêè ìåðû òðàíñöåíäåíòíîñòè π 2 .  äèññåðòà- öèîííîé ðàáîòå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëåäóþùåå îáîáùåíèå èíòåãðàëîâ Ñîðîêèíà: 1.3 Îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû è êðàòíûå äçåòà-ôóíêöèè 9 S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai−1 i (1 − xi) bi−ai−1 Ql j=1(1 − zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 < r1 < r2 < · · · < rl = m. (1.6) 1.3 Îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû è êðàòíûå äçåòà-ôóíêöèè  ðàáîòå áîëüøóþ ðîëü èãðàþò îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû, îïðåäå- ëÿåìûå ðàâåíñòâàìè Li~s(z) = X n1>n2>···>nl>1 z n1 n s1 1 n s2 2 . . . n sl l , Le~s(z) = X n1>n2>...>nl>1 z n1 n s1 1 n s2 2 . . . n sl l , ãäå ~s = (s1, s2, . . . , sl) âåêòîð ñ íàòóðàëüíûìè êîìïîíåíòàìè.  äàëüíåé- øåì áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëèíà l(~s) âåêòîðà ~s êîëè÷åñòâî åãî êîîðäèíàò è âåñ w(~s) èõ ñóììà. Ðÿäû, îïðåäåëÿþùèå îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû, ñõîäÿòñÿ ïðè |z| < 1. Ôóíêöèè Le~s(z) è Li~s(z) ìîãóò áûòü ëèíåéíî âûðà- æåíû äðóã ÷åðåç äðóãà. À èìåííî (ñì. [23]): Les1,...,sl (z) = X ~p Li~p(z), Lis1,...,sl (z) = X ~p (−1)α(~p) Le~p(z), ãäå ~p ïðîáåãàåò âñå âåêòîðà âèäà (s1 ∗ s2 ∗ · · · ∗ sl). Çíàê '*' ìîæåò áûòü ëèáî çíàêîì '+', ëèáî çíàêîì ',', à α(~p) ðàâíÿåòñÿ êîëè÷åñòâó çíàêîâ '+'. Äëÿ óäîáñòâà ïîëîæèì Li∅(z) = Le∅(z) = 1. Ïðè l = 1 îáîáùåííûå ïîëè- ëîãàðèôìû ïðåâðàùàþòñÿ â êëàññè÷åñêèå ïîëèëîãàðèôìû: Lis(z) = Les(z) = X ∞ n=1 z n ns . Ñ îáîáùåííûìè ïîëèëîãàðèôìàìè òåñíî ñâÿçàíî ïîíÿòèå êðàòíîé äçåòà-ôóíêöèè: ζ(s1, s2, . . . , sl) = X n1>n2>···>nl>1 1 n s1 1 · · · n sl l , 1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè 10 ζe(s1, s2, . . . , sl) = X n1>n2>···>nl>1 1 n s1 1 · · · n sl l . Ýòè ðÿäû ñõîäÿòñÿ ïðè íàòóðàëüíûõ sj è óñëîâèè s1 > 1 (åñëè s1 = 1, òî ðÿä ðàñõîäèòñÿ).  ýòîì ñëó÷àå èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ζ(s1, s2, . . . , sl) = Lis1,s2,...,sl (1), ζe(s1, s2, . . . , sl) = Les1,s2,...,sl (1). Åñòåñòâåííî, êàê è ó îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ, ïðè ôèêñèðîâàííûõ s1, s2, . . . , sl , çíà÷åíèå ζe(s1, s2, . . . , sl) âûðàæàåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáè- íàöèè çíà÷åíèé ζ îò âåêòîðîâ òîãî æå âåñà, ÷òî è ~s, è íàîáîðîò. Çíà÷å- íèÿ ôóíêöèè ζ(s1, s2, . . . , sl) äîâîëüíî õîðîøî èçó÷åíû, ìåæäó íèìè ñó- ùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ëèíåéíûå è àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ. Çíà÷åíèÿ æå ζe(s1, s2, . . . , sl) (îáîçíà÷åíèå íå ÿâëÿåòñÿ ïðèíÿòûì) ïîêà ÷òî îñòàþòñÿ áîëüøå â òåíè. Îäíàêî, ñêàæåì, ðàâåíñòâî ζe({2}k, 1) = 2ζ(2k + 1) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ èçó÷åíèÿ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â íå÷åò- íûõ òî÷êàõ. Çäåñü è äàëåå, {a}k îçíà÷àåò k ðàç ïîâòîðåííîå ÷åðåç çàïÿòóþ ÷èñëî a. Ïðè l = 1 îáà âàðèàíòà êðàòíîé äçåòà-ôóíêöèè ïðåâðàùàþòñÿ â îáû÷íóþ äçåòà-ôóíêöèþ Ðèìàíà. 1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè Îêàçûâàåòñÿ, èíòåãðàë V (z), ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ïàðàìåò- ðû ìîæåò áûòü ñâåäåí ê S(z). Ìû óñòàíîâèì ýòî â ðàçäåëå 2.1, äîêàçàâ áîëåå îáùåå òîæäåñòâî. Ïóñòü äàíû íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1 6 r1 < r2 < · · · < rl = m, r0 = 0 è êîìïëåêñíûå ÷èñëà a0 è ai , bi , 1 6 i 6 m. Îïðåäåëèì ìíîãî÷ëåíû Qj (z, x1, x2, . . . , xm), 1 6 j 6 l: Q0 = 1, Qj (z, x1, x2, . . . , xm) = Qj−1(z, x1, x2, . . . , xm)−z(1−xrj ) Y 16ixi , ìíîæåñòâî S è ÷èñëà ci : S = {rj |1 6 j 6 l}, ci = ( ai , åñëè i /∈ S, arj−1 , åñëè i = rj ∈ S. 1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè 11 Òîãäà ñïðàâåäëèâà Teopeìà 2.1. Ïóñòü Re(a0) > 0, Re(bi) > Re(ai) > 0 ïðè 1 6 i 6 m, Re(bi) > Re(ci) ïðè i ∈ S. Òîãäà ïðè z ∈ C, |z| < 1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî Z [0,1]m Qm i=1 x ai−1 i (1 − xi) bi−ai−1 Ql(z, x1, x2, . . . , xm) a0 dx = Γ(am) Γ(a0) Y i∈S Γ(bi − ai) Γ(bi − ci) Z [0,1]m Qm i=1 x ci−1 i (1 − xi) bi−ci−1 Q i∈S (1 − zx1 . . . xi) bi−ai dx, ãäå dx = dx1dx2 · · · dxm è îáà èíòåãðàëà ñõîäÿòñÿ. Èç ýòîãî èíòåãðàëüíîãî òîæäåñòâà âûòåêàåò ðàâåíñòâî èíòåãðàëà V (z) èíòåãðàëó âèäà S(z). Ýòîò ðåçóëüòàò ôîðìóëèðóåòñÿ â âèäå äâóõ òåîðåì â çàâèñèìîñòè îò ÷åòíîñòè ðàçìåðíîñòè èíòåãðàëà V (z). Teopeìà 2.3. Ïóñòü Re(a0) > 0, Re(bi) > Re(ai) > 0 ïðè 1 6 i 6 2l + 1, Re(b2j ) > Re(a2j−2) ïðè 1 6 j 6 l, Re(b2l+1) > Re(a2l). Òîãäà ïðè |z| < 1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî V2l+1 a0, a1, a2, . . . , a2l+1 b1, b2, . . . , b2l+1 ; z
= Γ(a2l+1) Γ(a0) Γ(b2l+1 − a2l+1) Γ(b2l+1 − a2l) Y l j=1 Γ(b2j
левыяе аппараты
03.05.2017 в 12:34
Алексей
отрицательный
Хотел купить Benq, сказали этого в наличии нет, есть лучше Ledminox. Я не притязательный и этот проектор первый. работал себе нормально неделю - две. Потом перестал показывать. Поехал в сервис по адресу на гарантийном талоне, тк по тел неделю нельзя прозвониться. По указанному адресу сервиса нет. поехал в в офис Ledminox. На сайте указан тк по тел тоже нельзя прозвониться - такой фирмы по этому адресу никогда не было.Обещали сделать обмен возврат. тишина второй день, к моему тел никто не подходит, с др номеров прозвониться можно... Делайте выводы сами. У меня нерабочий аппарат, нет концов куда его сдать/поменять
Заказ в hdmir (2)
24.04.2017 в 10:54
Кристина
положительный
(интернет упал, не дописала)
Рассказали про вес, качества, характеристики, очень вежливые ребята! Доставка так же порадовала, даже не верится, что еще остались такие приятные интернет-магазины без предоплат и разводов, но с хорошими ценами!
Заказ в hdmir
24.04.2017 в 10:50
Кристина
положительный
Нужен был проектор, который коннектился бы по вай фаю с телефоном. В общем такую модель помогли подобрать, (пиарить не буду сам продукт, речь о магазине). Рассказали про вес,
у них дешевле чем на яндекс маркете
19.04.2017 в 17:03
Валентин
положительный
У них дешевле чем на яндекс маркете! Я не знаю каким образом они этого достигли, но система доставки, оплаты отлично налажена! Не подделки
Спасибо за помощь в покупке!
18.04.2017 в 17:22
Владимир
положительный
Организовали все четко! Немного пришлось поспорить с курьером, но это обычное дело при доставках! Спасибо!
HDmir
18.04.2017 в 12:03
Мария
положительный
Прекрасное приобретение в дом! Сразу все фильмы приобрели особенный шарм при просмотре! Что касается магазина, быстрая доставка, грамотные консультации - что еще надо?)
Нормуль
17.04.2017 в 10:23
Клиент HDmir' a
положительный
В субботу привезли проектор, нужен был прям в срок. Никто не опоздал, менеджеры не отправляли "висеть" на телефоне (жутко это не люблю). Все сложилось как нужно!
